Номер 266, страница 80 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 3. Прямоугольные треугольники - номер 266, страница 80.

Условие.

266 На сторонах угла $O$ отмечены точки $A$ и $B$ так, что $OA=OB$. Через эти точки проведены прямые, перпендикулярные к сто-ронам угла и пересекающиеся в точке $C$. Докажите, что луч$OC$ — биссектриса угла $O$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Рассмотрим треугольники $\triangle OAC$ и $\triangle OBC$.

По условию задачи, через точку A проведена прямая, перпендикулярная стороне угла OA. Это означает, что $\angle OAC = 90^\circ$. Аналогично, через точку B проведена прямая, перпендикулярная стороне угла OB, следовательно, $\angle OBC = 90^\circ$.

Таким образом, треугольники $\triangle OAC$ и $\triangle OBC$ являются прямоугольными.

Сравним эти два прямоугольных треугольника:

1. Сторона $OC$ является общей для обоих треугольников. В прямоугольных треугольниках $\triangle OAC$ и $\triangle OBC$ эта сторона является гипотенузой.

2. Стороны $OA$ и $OB$ равны по условию задачи ($OA = OB$). В данных треугольниках эти стороны являются катетами.

По признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету), если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Следовательно, $\triangle OAC = \triangle OBC$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Значит, $\angle AOC = \angle BOC$.

По определению, луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называется биссектрисой угла. Так как луч OC делит угол O на два равных угла ($\angle AOC$ и $\angle BOC$), то OC является биссектрисой угла O, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что луч OC является биссектрисой угла O. Это следует из равенства прямоугольных треугольников $\triangle OAC$ и $\triangle OBC$ по гипотенузе (общая сторона $OC$) и катету (равные по условию стороны $OA$ и $OB$).