Номер 259, страница 80 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 3. Прямоугольные треугольники - номер 259, страница 80.

Условие.

259 □ Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен $120^\circ$. Высота, проведённая к боковой стороне, равна $9$ см. Найдите основание треугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB = BC$, а основание — $AC$. Угол, противолежащий основанию, $\angle ABC = 120^\circ$.

Сначала найдём углы при основании треугольника. Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный, углы при основании равны:

$\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ - \angle ABC}{2} = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Пусть $AH$ — высота, проведённая из вершины $A$ к боковой стороне $BC$. По условию задачи, её длина $AH = 9$ см. Так как угол $\angle ABC$ является тупым ($120^\circ > 90^\circ$), основание высоты $H$ будет находиться на продолжении стороны $BC$ за вершиной $B$.

Рассмотрим образовавшийся прямоугольный треугольник $ABH$. Угол $\angle ABH$ смежный с углом $\angle ABC$, поэтому их сумма составляет $180^\circ$.

$\angle ABH = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $ABH$ ($\angle AHB = 90^\circ$) нам известен катет $AH=9$ см, противолежащий углу $\angle ABH=60^\circ$. Мы можем найти гипотенузу $AB$, которая является боковой стороной исходного треугольника $ABC$.

Из определения синуса угла:

$\sin(\angle ABH) = \frac{AH}{AB}$

Отсюда находим $AB$:

$AB = \frac{AH}{\sin(\angle ABH)} = \frac{9}{\sin(60^\circ)}$

Используя значение $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$AB = \frac{9}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}$ см.

Теперь мы знаем длину боковой стороны треугольника $ABC$: $AB = BC = 6\sqrt{3}$ см. Для нахождения основания $AC$ проведём высоту $BM$ из вершины $B$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, также является медианой и биссектрисой. Следовательно, она делит угол $\angle ABC$ и основание $AC$ пополам.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$ ($\angle AMB = 90^\circ$):

• Гипотенуза $AB = 6\sqrt{3}$ см.
• Угол $\angle ABM = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.
• Катет $AM$ — это половина основания $AC$.

Найдём длину катета $AM$:

$AM = AB \cdot \sin(\angle ABM) = 6\sqrt{3} \cdot \sin(60^\circ) = 6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6 \cdot 3}{2} = 9$ см.

Так как $M$ — середина основания $AC$, то его полная длина равна:

$AC = 2 \cdot AM = 2 \cdot 9 = 18$ см.

Ответ: 18 см.