Номер 252, страница 75 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 252, страница 75.

Условие.

252 Два внешних угла треугольника при разных вершинах равны. Периметр треугольника равен 74 см, а одна из сторон равна 16 см. Найдите две другие стороны треугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Сумма внутреннего и смежного с ним внешнего угла треугольника составляет $180^\circ$. По условию, два внешних угла при разных вершинах равны. Это означает, что и внутренние углы, смежные с этими внешними углами, также равны.

Пусть внутренние углы при двух вершинах равны $\alpha$ и $\beta$. Тогда соответствующие им внешние углы равны $180^\circ - \alpha$ и $180^\circ - \beta$. Из условия $180^\circ - \alpha = 180^\circ - \beta$ следует, что $\alpha = \beta$.

Треугольник, у которого два угла равны, является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Следовательно, у нашего треугольника две стороны равны.

Периметр треугольника равен 74 см, а одна из сторон равна 16 см. Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Равные (боковые) стороны треугольника равны по 16 см.
В этом случае две стороны равны 16 см. Найдем третью сторону (основание) из периметра:
$c = 74 - (16 + 16) = 74 - 32 = 42$ см.
Теперь необходимо проверить, может ли существовать такой треугольник, используя неравенство треугольника: сумма длин двух любых сторон должна быть больше длины третьей стороны.
Проверяем: $16 + 16 > 42 \implies 32 > 42$.
Это неравенство ложно, значит, треугольник с такими сторонами не существует.

Случай 2: Основание равнобедренного треугольника равно 16 см.
В этом случае третья (неравная) сторона равна 16 см, а две другие (боковые) стороны равны между собой. Обозначим длину боковой стороны как $x$.
Составим уравнение, используя формулу периметра:
$x + x + 16 = 74$
$2x + 16 = 74$
$2x = 74 - 16$
$2x = 58$
$x = 29$ см.
Таким образом, две другие стороны равны 29 см и 29 см.
Проверим неравенство треугольника для сторон 16 см, 29 см, 29 см:
$29 + 29 > 16$ (верно)
$29 + 16 > 29$ (верно)
Этот случай удовлетворяет условиям.

Ответ: 29 см и 29 см.