Номер 250, страница 74 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 250, страница 74.

Условие.

250 □ Найдите сторону равнобедренного треугольника, если две другие стороны равны:

а) $7 \text{ см}$ и $3 \text{ см}$;

б) $8 \text{ см}$ и $2 \text{ см}$;

в) $10 \text{ см}$ и $5 \text{ см}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения этой задачи необходимо использовать свойство равнобедренного треугольника, у которого две стороны равны, и основное правило существования треугольника — неравенство треугольника. Неравенство треугольника гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника всегда должна быть строго больше длины третьей стороны. Если стороны треугольника обозначить как $a, b, c$, то должны выполняться три условия: $a + b > c$, $a + c > b$ и $b + c > a$.

а) Даны две стороны: 7 см и 3 см.
Поскольку треугольник равнобедренный, его третья сторона может быть равна либо 7 см, либо 3 см. Рассмотрим оба варианта.
1. Предположим, третья сторона равна 7 см. Тогда стороны треугольника: 7 см, 7 см, 3 см.
Проверим неравенство треугольника:
$7 + 7 > 3 \implies 14 > 3$ (Верно)
$7 + 3 > 7 \implies 10 > 7$ (Верно)
Все условия выполняются, следовательно, такой треугольник существует.
2. Предположим, третья сторона равна 3 см. Тогда стороны треугольника: 7 см, 3 см, 3 см.
Проверим неравенство треугольника:
$3 + 3 > 7 \implies 6 > 7$ (Неверно)
Условие не выполняется, значит, треугольник с такими сторонами не может существовать.
Таким образом, единственно возможный вариант — третья сторона равна 7 см.
Ответ: 7 см.

б) Даны две стороны: 8 см и 2 см.
Третья сторона может быть равна либо 8 см, либо 2 см.
1. Предположим, третья сторона равна 8 см. Тогда стороны треугольника: 8 см, 8 см, 2 см.
Проверим неравенство треугольника:
$8 + 8 > 2 \implies 16 > 2$ (Верно)
$8 + 2 > 8 \implies 10 > 8$ (Верно)
Такой треугольник существует.
2. Предположим, третья сторона равна 2 см. Тогда стороны треугольника: 8 см, 2 см, 2 см.
Проверим неравенство треугольника:
$2 + 2 > 8 \implies 4 > 8$ (Неверно)
Такой треугольник не существует.
Единственно возможный вариант — третья сторона равна 8 см.
Ответ: 8 см.

в) Даны две стороны: 10 см и 5 см.
Третья сторона может быть равна либо 10 см, либо 5 см.
1. Предположим, третья сторона равна 10 см. Тогда стороны треугольника: 10 см, 10 см, 5 см.
Проверим неравенство треугольника:
$10 + 10 > 5 \implies 20 > 5$ (Верно)
$10 + 5 > 10 \implies 15 > 10$ (Верно)
Такой треугольник существует.
2. Предположим, третья сторона равна 5 см. Тогда стороны треугольника: 10 см, 5 см, 5 см.
Проверим неравенство треугольника:
$5 + 5 > 10 \implies 10 > 10$ (Неверно, так как сумма должна быть строго больше).
Такой треугольник не существует (он вырождается в отрезок).
Единственно возможный вариант — третья сторона равна 10 см.
Ответ: 10 см.