Номер 253, страница 75 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 253, страница 75.

Условие.

253. Периметр равнобедренного треугольника равен 25 см, разность двух сторон равна 4 см, а один из его внешних углов — острый. Найдите стороны треугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть боковые стороны равнобедренного треугольника равны $a$, а основание равно $b$.

Периметр треугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2a + b$. По условию, периметр равен 25 см, следовательно, мы имеем первое уравнение: $2a + b = 25$.

Разность двух сторон равна 4 см. В равнобедренном треугольнике это может быть только разность между боковой стороной и основанием. Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Боковая сторона больше основания.

В этом случае $a - b = 4$, откуда $a = b + 4$. Подставим это выражение в уравнение периметра:
$2(b + 4) + b = 25$
$2b + 8 + b = 25$
$3b = 17$
$b = \frac{17}{3} = 5 \frac{2}{3}$ см.
Тогда боковая сторона $a = 5 \frac{2}{3} + 4 = 9 \frac{2}{3}$ см.

Случай 2: Основание больше боковой стороны.

В этом случае $b - a = 4$, откуда $b = a + 4$. Подставим это выражение в уравнение периметра:
$2a + (a + 4) = 25$
$3a + 4 = 25$
$3a = 21$
$a = 7$ см.
Тогда основание $b = 7 + 4 = 11$ см.

Теперь используем условие, что один из внешних углов треугольника — острый. Внешний угол и смежный с ним внутренний угол в сумме составляют $180^\circ$. Если внешний угол острый (меньше $90^\circ$), то соответствующий ему внутренний угол должен быть тупым (больше $90^\circ$).

В треугольнике может быть только один тупой угол. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, и они всегда острые (иначе их сумма была бы не меньше $180^\circ$). Следовательно, тупым может быть только угол при вершине, который лежит напротив основания.

В любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Так как угол при вершине — тупой, он является наибольшим углом в треугольнике. Это означает, что противолежащая ему сторона (основание $b$) должна быть самой длинной стороной треугольника. То есть, должно выполняться условие $b > a$.

Проверим оба случая на соответствие этому условию:
В Случае 1 мы получили $a = 9 \frac{2}{3}$ см и $b = 5 \frac{2}{3}$ см. Здесь $a > b$, что противоречит нашему выводу. Этот вариант не подходит.
В Случае 2 мы получили $a = 7$ см и $b = 11$ см. Здесь $b > a$ ($11 > 7$), что полностью соответствует нашему выводу.

Наконец, проверим, существует ли треугольник с найденными сторонами 7 см, 7 см, 11 см, используя неравенство треугольника: сумма длин двух любых сторон должна быть больше длины третьей стороны.
$7 + 7 > 11 \implies 14 > 11$ (верно).
$7 + 11 > 7 \implies 18 > 7$ (верно).
Треугольник с такими сторонами существует.

Ответ: 7 см, 7 см, 11 см.