Номер 246, страница 74 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 246, страница 74.

Условие.

245 Через точку пересечения биссектрис $BB_1$ и $CC_1$ треугольника $ABC$ проведена прямая, параллельная прямой $BC$ и пересекающая стороны $AB$ и $AC$ соответственно в точках $M$ и $N$. Докажите, что $MN = BM + CN$.

Рис. 129

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть O — точка пересечения биссектрис $BB_1$ и $CC_1$ треугольника $ABC$. Согласно условию задачи, через эту точку проведена прямая, параллельная стороне $BC$. Эта прямая пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках M и N соответственно. Таким образом, у нас есть $MN \parallel BC$.

Длина отрезка $MN$ равна сумме длин составляющих его отрезков $MO$ и $ON$:
$MN = MO + ON$.

Теперь рассмотрим треугольник $BMO$.

1. Так как $BO$ является биссектрисой угла $B$ (поскольку O — точка пересечения биссектрис), то она делит угол $ABC$ пополам: $\angle MBO = \angle OBC$.

2. Так как прямая $MN$ параллельна прямой $BC$, а $BO$ является секущей, то накрест лежащие углы равны: $\angle MOB = \angle OBC$.

3. Из двух предыдущих пунктов следует, что $\angle MBO = \angle MOB$.

4. Если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. Следовательно, треугольник $BMO$ — равнобедренный с основанием $BO$. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны, значит, $BM = MO$.

Аналогично рассмотрим треугольник $CNO$.

1. Так как $CO$ является биссектрисой угла $C$, то $\angle NCO = \angle OCB$.

2. Так как $MN \parallel BC$, а $CO$ является секущей, то накрест лежащие углы равны: $\angle NOC = \angle OCB$.

3. Из этого следует, что $\angle NCO = \angle NOC$.

4. Следовательно, треугольник $CNO$ также является равнобедренным с основанием $CO$. Поэтому стороны, противолежащие равным углам, равны: $CN = ON$.

Теперь вернемся к выражению для длины отрезка $MN$ и подставим в него полученные равенства ($MO = BM$ и $ON = CN$):
$MN = MO + ON = BM + CN$.

Таким образом, мы доказали, что $MN = BM + CN$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $MN = BM + CN$ доказано.