Номер 239, страница 74 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 239, страница 74.

Условие.

239 ☐ Докажите, что в треугольнике медиана не меньше высоты, проведённой из той же вершины.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Проведём из вершины $B$ медиану $BM$ к стороне $AC$ и высоту $BH$ к той же стороне $AC$. По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $AC$. По определению высоты, отрезок $BH$ перпендикулярен прямой $AC$.

Рассмотрим треугольник $BHM$. Поскольку $BH$ — это высота, проведённая к прямой $AC$, то угол $\angle BHM$ является прямым, то есть $\angle BHM = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $BHM$ является прямоугольным.

В прямоугольном треугольнике $BHM$ сторона $BM$ является гипотенузой (так как лежит напротив прямого угла), а сторона $BH$ является одним из катетов.

В любом прямоугольном треугольнике длина гипотенузы всегда больше или равна длине любого из катетов. Следовательно, $BM \geq BH$.

Равенство $BM = BH$ возможно только в том случае, когда треугольник $BHM$ является вырожденным, то есть когда длина второго катета $HM$ равна нулю. Это означает, что точки $H$ и $M$ совпадают. В этом случае медиана $BM$ совпадает с высотой $BH$. Такое происходит, например, в равнобедренном треугольнике ($AB=BC$), если медиана и высота проведены к основанию $AC$.

Если же точки $H$ и $M$ не совпадают, то $HM > 0$, и по теореме Пифагора для треугольника $BHM$ выполняется равенство $BM^2 = BH^2 + HM^2$. Так как $HM^2 > 0$, то $BM^2 > BH^2$, откуда следует, что $BM > BH$.

Таким образом, в любом треугольнике медиана не меньше высоты, проведённой из той же вершины, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что медиана, проведённая из вершины треугольника, не меньше высоты, проведённой из той же вершины.