Номер 243, страница 74 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 243, страница 74.

Условие.

243 Через вершину $C$ треугольника $ABC$ проведена прямая, параллельная его биссектрисе $AA_1$ и пересекающая прямую $AB$ в точке $D$. Докажите, что $AC = AD$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан треугольник $ABC$. $AA_1$ — биссектриса угла $\angle BAC$, что означает, что она делит этот угол на два равных угла:

$ \angle BAA_1 = \angle CAA_1 $.

По условию, через вершину $C$ проведена прямая, параллельная $AA_1$, которая пересекает прямую $AB$ в точке $D$. Таким образом, мы имеем параллельные прямые $AA_1 \parallel CD$.

Рассмотрим параллельные прямые $AA_1$ и $CD$ и секущую $AC$. Углы $\angle CAA_1$ и $\angle ACD$ являются внутренними накрест лежащими. Поскольку прямые параллельны, эти углы равны:

$ \angle ACD = \angle CAA_1 $.

Теперь рассмотрим те же параллельные прямые $AA_1$ и $CD$ и секущую $AD$ (прямая, содержащая сторону $AB$). Углы $\angle BAA_1$ и $\angle ADC$ являются соответственными. Поскольку прямые параллельны, эти углы также равны:

$ \angle ADC = \angle BAA_1 $.

Мы получили следующую цепочку равенств:

$ \angle ACD = \angle CAA_1 $ (как накрест лежащие)

$ \angle ADC = \angle BAA_1 $ (как соответственные)

А так как $ \angle BAA_1 = \angle CAA_1 $ (по определению биссектрисы), то из этого следует, что:

$ \angle ACD = \angle ADC $.

Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. В этом треугольнике два угла ($ \angle ACD $ и $ \angle ADC $) равны. Согласно признаку равнобедренного треугольника, если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны. В треугольнике $ACD$ сторона $AD$ лежит напротив угла $\angle ACD$, а сторона $AC$ — напротив угла $\angle ADC$.

Следовательно, $AC = AD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AC = AD$ доказано.