Номер 245, страница 74 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 245, страница 74.

Условие.

245. Через точку пересечения биссектрис $BB_1$ и $CC_1$ треугольника $ABC$ проведена прямая, параллельная прямой $BC$ и пересекающая стороны $AB$ и $AC$ соответственно в точках $M$ и $N$. Докажите, что $MN = BM + CN$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть $I$ — точка пересечения биссектрис $BB_1$ и $CC_1$. По условию задачи, прямая $MN$ проходит через точку $I$.

Рассмотрим треугольник $MBI$.

1. Так как $BB_1$ является биссектрисой угла $B$, то $∠MBI = ∠IBC$.

2. По условию, прямая $MN$ параллельна прямой $BC$. Прямая $BI$ является секущей для этих параллельных прямых. Следовательно, углы $∠MIB$ и $∠IBC$ равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых $MN$ и $BC$ и секущей $BI$. То есть, $∠MIB = ∠IBC$.

3. Из пунктов 1 и 2 следует, что $∠MBI = ∠MIB$.

4. Если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. В треугольнике $MBI$ углы при основании $BI$ равны, следовательно, треугольник $MBI$ — равнобедренный. Отсюда следует равенство боковых сторон: $BM = MI$.

Теперь рассмотрим треугольник $NCI$.

1. Так как $CC_1$ является биссектрисой угла $C$, то $∠NCI = ∠ICB$.

2. Прямая $CI$ является секущей для параллельных прямых $MN$ и $BC$. Следовательно, углы $∠NIC$ и $∠ICB$ равны как накрест лежащие углы. То есть, $∠NIC = ∠ICB$.

3. Из этих двух равенств следует, что $∠NCI = ∠NIC$.

4. Таким образом, треугольник $NCI$ является равнобедренным с основанием $CI$. Отсюда следует равенство боковых сторон: $CN = NI$.

Длина отрезка $MN$ состоит из суммы длин отрезков $MI$ и $NI$:

$MN = MI + NI$

Заменяя $MI$ на равный ему отрезок $BM$, и $NI$ на равный ему отрезок $CN$, получаем:

$MN = BM + CN$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $MN = BM + CN$ доказано.