Номер 244, страница 74 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 244, страница 74.

Условие.

244 Отрезок $AD$ — биссектриса треугольника $ABC$. Через точку $D$ проведена прямая, параллельная $AC$ и пересекающая сторону $AB$ в точке $E$. Докажите, что треугольник $ADE$ — равнобедренный.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Чтобы доказать, что треугольник $ADE$ является равнобедренным, необходимо доказать, что у него равны две стороны или два угла.

1. По условию, отрезок $AD$ — биссектриса угла $BAC$. Из определения биссектрисы следует, что она делит угол на два равных угла:
   $\angle EAD = \angle CAD$.
2. Также по условию, через точку $D$ проведена прямая, параллельная $AC$, которая пересекает $AB$ в точке $E$. Таким образом, $DE \parallel AC$. Прямая $AD$ является секущей для этих параллельных прямых.
3. Углы $\angle ADE$ и $\angle CAD$ являются накрест лежащими углами при параллельных прямых $DE$ и $AC$ и секущей $AD$. По свойству параллельных прямых, накрест лежащие углы равны:
   $\angle ADE = \angle CAD$.
4. Из двух равенств, полученных в пунктах 1 и 3 ($\angle EAD = \angle CAD$ и $\angle ADE = \angle CAD$), следует, что:
   $\angle EAD = \angle ADE$.
5. Рассмотрим треугольник $ADE$. Так как в нем два угла равны ($\angle EAD = \angle ADE$), то по признаку равнобедренного треугольника он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны, то есть $AE = DE$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник $ADE$ является равнобедренным, так как у него два угла равны: $\angle EAD = \angle ADE$. Это следует из того, что $AD$ — биссектриса ($\angle EAD = \angle CAD$) и $DE \parallel AC$ (откуда $\angle ADE = \angle CAD$ как накрест лежащие).