Номер 241, страница 74 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 241, страница 74.

Условие.

241 ◻ Прямая, параллельная основанию равнобедренного треугольника $ABC$, пересекает боковые стороны $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $N$. Докажите, что треугольник $AMN$ равнобедренный.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть в равнобедренном треугольнике $ABC$ основанием является сторона $BC$. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны, то есть $\angle ABC = \angle ACB$.

По условию задачи, прямая $MN$ параллельна основанию $BC$ ($MN \parallel BC$) и пересекает боковые стороны $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно.

Рассмотрим параллельные прямые $MN$ и $BC$ и секущую $AB$. Углы $\angle AMN$ и $\angle ABC$ являются соответственными при параллельных прямых. Следовательно, эти углы равны: $\angle AMN = \angle ABC$.

Аналогично, рассмотрим те же параллельные прямые $MN$ и $BC$, но с секущей $AC$. Углы $\angle ANM$ и $\angle ACB$ являются соответственными, и, следовательно, они также равны: $\angle ANM = \angle ACB$.

Таким образом, мы получили следующую систему равенств:
1) $\angle AMN = \angle ABC$ (как соответственные углы)
2) $\angle ANM = \angle ACB$ (как соответственные углы)
3) $\angle ABC = \angle ACB$ (как углы при основании равнобедренного $\triangle ABC$)

Из этих равенств следует, что $\angle AMN = \angle ANM$.

Поскольку в треугольнике $AMN$ два угла равны, то по признаку равнобедренного треугольника, он является равнобедренным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник $AMN$ является равнобедренным.