Номер 242, страница 74 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 242, страница 74.

Условие.

242 □ Докажите, что если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна стороне треугольника, то треугольник равнобедренный.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства утверждения рассмотрим треугольник $ABC$. Пусть биссектриса его внешнего угла при вершине $A$ параллельна стороне $BC$. Обозначим этот внешний угол как $\angle DAB$, где $D$ — точка на продолжении стороны $CA$ за вершину $A$. Пусть $AE$ — биссектриса угла $\angle DAB$. По условию, $AE \parallel BC$.

Так как $AE$ — биссектриса угла $\angle DAB$, по определению имеем: $\angle DAE = \angle EAB$.

Рассмотрим параллельные прямые $AE$ и $BC$ и секущую $CD$. Углы $\angle DAE$ и $\angle ACB$ являются соответственными, а значит, они равны: $\angle DAE = \angle ACB$.

Теперь рассмотрим те же параллельные прямые $AE$ и $BC$, но с секущей $AB$. Углы $\angle EAB$ и $\angle ABC$ являются накрест лежащими, следовательно, они также равны: $\angle EAB = \angle ABC$.

Сопоставляя полученные равенства, получаем цепочку: $\angle ABC = \angle EAB = \angle DAE = \angle ACB$. Отсюда следует, что $\angle ABC = \angle ACB$.

Поскольку в треугольнике $ABC$ два угла оказались равны (углы при основании $BC$), то по признаку равнобедренного треугольника он является равнобедренным. Стороны, противолежащие равным углам, равны: $AB = AC$.

Таким образом, утверждение полностью доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна его стороне, то такой треугольник является равнобедренным.