Номер 233, страница 71 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 1. Сумма углов треугольника - номер 233, страница 71.

Условие.

233 ◻ Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, параллельна основанию.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB$. По определению, боковые стороны этого треугольника равны: $AC = BC$.

Согласно свойству углов равнобедренного треугольника, углы при его основании равны: $\angle CAB = \angle CBA$.

Рассмотрим внешний угол треугольника при вершине $C$, которая противолежит основанию. Продлим сторону $BC$ за вершину $C$ до точки $D$. Внешний угол при вершине $C$ — это угол $\angle ACD$, смежный с углом $\angle ACB$.

По теореме о внешнем угле треугольника, его градусная мера равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

$\angle ACD = \angle CAB + \angle CBA$

Так как $\angle CAB = \angle CBA$, мы можем заменить $\angle CBA$ на $\angle CAB$ и получить:

$\angle ACD = \angle CAB + \angle CAB = 2 \cdot \angle CAB$

Пусть $CE$ — биссектриса внешнего угла $\angle ACD$. По определению, биссектриса делит угол на два равных угла:

$\angle ACE = \angle ECD = \frac{1}{2} \angle ACD$

Подставим в это равенство выражение для $\angle ACD$, полученное ранее:

$\angle ACE = \frac{1}{2} (2 \cdot \angle CAB) = \angle CAB$

Теперь рассмотрим прямые $CE$ и $AB$ и секущую $AC$. Углы $\angle ACE$ и $\angle CAB$ являются внутренними накрест лежащими углами. Поскольку мы доказали, что эти углы равны ($\angle ACE = \angle CAB$), то по признаку параллельности двух прямых, прямые $CE$ и $AB$ параллельны ($CE \parallel AB$).

Таким образом, доказано, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, параллельна основанию.

Ответ: Утверждение доказано.