Номер 232, страница 71 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 1. Сумма углов треугольника - номер 232, страница 71.

Условие.

232 Верно ли утверждение: если треугольник равнобедренный, то один из его внешних углов в два раза больше угла треугольника, не смежного с этим внешним углом?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Данное утверждение является верным.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны равны: $AB = BC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании $AC$ равны. Обозначим величину этих углов через $\alpha$:

$\angle BAC = \angle BCA = \alpha$

Рассмотрим внешний угол при вершине $B$, которая является вершиной, противолежащей основанию. По теореме о внешнем угле треугольника, его величина равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. В данном случае это углы $\angle BAC$ и $\angle BCA$.

Таким образом, величина внешнего угла при вершине $B$ равна:

$\text{Внешний угол при B} = \angle BAC + \angle BCA = \alpha + \alpha = 2\alpha$

Углом треугольника, не смежным с этим внешним углом, является, например, угол $\angle BAC$, величина которого равна $\alpha$.

Сравнивая величину внешнего угла при вершине $B$ ($2\alpha$) с величиной не смежного с ним внутреннего угла $\angle BAC$ ($\alpha$), мы видим, что внешний угол в два раза больше внутреннего.

Поскольку в условии утверждается, что "один из его внешних углов" обладает этим свойством, и мы нашли такой угол (внешний угол при вершине, образованной равными сторонами), то утверждение истинно для любого равнобедренного треугольника.

Ответ: да, утверждение верно.