Номер 258, страница 80 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 3. Прямоугольные треугольники - номер 258, страница 80.

Условие.

258. Из середины $D$ стороны $BC$ равностороннего треугольника $ABC$ проведён перпендикуляр $DM$ к прямой $AC$. Найдите $AM$, если $AB=12$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Поскольку треугольник $ABC$ равносторонний, все его стороны равны и все углы равны $60^\circ$. Из условия известно, что $AB = 12$ см, следовательно, $AB = BC = AC = 12$ см. Также, $\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$.

Точка $D$ — середина стороны $BC$. Это означает, что она делит сторону $BC$ на два равных отрезка: $DC = BD = \frac{BC}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Рассмотрим треугольник $DMC$. По условию, $DM$ — перпендикуляр к прямой $AC$, значит, $\angle DMC = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $DMC$ является прямоугольным.

В прямоугольном треугольнике $DMC$ нам известны:

• гипотенуза $DC = 6$ см
• угол $\angle C = 60^\circ$

Катет $MC$, прилежащий к углу $C$, можно найти через косинус этого угла: $\cos(\angle C) = \frac{MC}{DC}$ Отсюда $MC = DC \cdot \cos(\angle C)$. Подставим известные значения: $MC = 6 \cdot \cos(60^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$ см.

Точка $M$ лежит на стороне $AC$. Длина отрезка $AM$ равна разности длин отрезков $AC$ и $MC$: $AM = AC - MC$ $AM = 12 - 3 = 9$ см.

Ответ: 9 см.