Номер 265, страница 80 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 3. Прямоугольные треугольники - номер 265, страница 80.

Условие.

265 В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ проведены биссектриса $AF$ и высота $AH$. Найдите углы треугольника $AHF$, если $\angle B = 112^\circ$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ углы при основании равны: $\angle A = \angle C$. Сумма всех углов треугольника равна $180^{\circ}$, поэтому, зная, что $\angle B = 112^{\circ}$, мы можем найти углы при основании:

$\angle A + \angle C + \angle B = 180^{\circ}$

$2\angle A + 112^{\circ} = 180^{\circ}$

$2\angle A = 180^{\circ} - 112^{\circ} = 68^{\circ}$

$\angle A = \angle C = 34^{\circ}$.

Поскольку $AF$ является биссектрисой угла $A$, она делит этот угол пополам:

$\angle FAC = \frac{\angle A}{2} = \frac{34^{\circ}}{2} = 17^{\circ}$.

Поскольку $AH$ является высотой, проведенной к стороне $BC$, треугольник $AHC$ является прямоугольным, где $\angle AHC = 90^{\circ}$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^{\circ}$. Отсюда мы можем найти угол $\angle HAC$:

$\angle HAC = 90^{\circ} - \angle C = 90^{\circ} - 34^{\circ} = 56^{\circ}$.

Теперь, имея все необходимые данные, мы можем найти углы треугольника $AHF$.

$\angle FAH$

Угол $\angle FAH$ можно найти как разность между углами $\angle HAC$ и $\angle FAC$.

$\angle FAH = \angle HAC - \angle FAC = 56^{\circ} - 17^{\circ} = 39^{\circ}$.

Ответ: $\angle FAH = 39^{\circ}$.

$\angle AHF$

Так как $AH$ — это высота к прямой $BC$, а точки $F$ и $H$ лежат на этой прямой, то угол $\angle AHF$ является прямым.

$\angle AHF = 90^{\circ}$.

Ответ: $\angle AHF = 90^{\circ}$.

$\angle AFH$

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^{\circ}$. Для треугольника $AHF$ мы уже знаем два угла, поэтому третий угол можно найти следующим образом:

$\angle AFH = 180^{\circ} - \angle AHF - \angle FAH = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 39^{\circ} = 51^{\circ}$.

Ответ: $\angle AFH = 51^{\circ}$.