Номер 268, страница 80 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 3. Прямоугольные треугольники - номер 268, страница 80.

Условие.

268 Сформулируйте и докажите утверждение о признаке равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Формулировка утверждения

Если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $△ABC$ с прямым углом $∠C$ и $△A₁B₁C₁$ с прямым углом $∠C₁$.

Пусть по условию теоремы катет $AC$ равен катету $A₁C₁$, а противолежащий этому катету острый угол $∠B$ равен противолежащему катету $A₁C₁$ острому углу $∠B₁$. То есть, $AC = A₁C₁$ и $∠B = ∠B₁$.

Нам нужно доказать, что $△ABC = △A₁B₁C₁$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180°$. Поскольку углы $∠C$ и $∠C₁$ прямые ($90°$), то сумма острых углов в каждом из этих треугольников равна $90°$.

Для $△ABC$: $∠A + ∠B = 90°$, откуда $∠A = 90° - ∠B$.

Для $△A₁B₁C₁$: $∠A₁ + ∠B₁ = 90°$, откуда $∠A₁ = 90° - ∠B₁$.

Так как по условию $∠B = ∠B₁$, то и правые части полученных выражений равны. Следовательно, $∠A = ∠A₁$.

Теперь мы можем сравнить треугольники $△ABC$ и $△A₁B₁C₁$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). В наших треугольниках:

1. Сторона $AC$ равна стороне $A₁C₁$ (по условию).

2. Прилежащий к ней угол $∠A$ равен прилежащему углу $∠A₁$ (как доказано выше).

3. Прилежащий к ней угол $∠C$ равен прилежащему углу $∠C₁$ (так как оба они прямые).

Поскольку сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Следовательно, $△ABC = △A₁B₁C₁$. Теорема доказана.

Ответ: Утверждение сформулировано и доказано. Признак равенства гласит: если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему острому углу другого, то такие треугольники равны.