Номер 263, страница 80 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 3. Прямоугольные треугольники - номер 263, страница 80.

Условие.

263 Высоты, проведённые к боковым сторонам $AB$ и $AC$ остроугольного равнобедренного треугольника $ABC$, пересекаются в точке $M$. Найдите углы треугольника, если $\angle BMC = 140^\circ$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть в равнобедренном треугольнике $ABC$ боковыми сторонами являются $AB$ и $AC$, следовательно, основание — $BC$. Обозначим высоты, проведенные к боковым сторонам, как $BE$ (к стороне $AC$) и $CD$ (к стороне $AB$). Точка $M$ — точка их пересечения.

По определению высоты, $BE \perp AC$ и $CD \perp AB$. Это означает, что $\angle A E B = 90^\circ$ и $\angle A D C = 90^\circ$.

Рассмотрим четырехугольник $ADME$. Сумма внутренних углов любого выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$. В этом четырехугольнике нам известны углы $\angle ADM = 90^\circ$ и $\angle AEM = 90^\circ$.

Угол $\angle DME$ и угол $\angle BMC$ являются вертикальными, поэтому они равны. По условию $\angle BMC = 140^\circ$, следовательно, $\angle DME = 140^\circ$.

Теперь мы можем найти четвертый угол четырехугольника, $\angle DAE$ (который совпадает с углом $\angle BAC$ треугольника $ABC$):
$\angle DAE + \angle ADM + \angle DME + \angle AEM = 360^\circ$
$\angle DAE + 90^\circ + 140^\circ + 90^\circ = 360^\circ$
$\angle DAE + 320^\circ = 360^\circ$
$\angle DAE = 360^\circ - 320^\circ = 40^\circ$

Итак, угол при вершине треугольника $ABC$ равен $\angle A = 40^\circ$.

Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $BC$, углы при основании равны: $\angle ABC = \angle ACB$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$:
$\angle A + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$
$40^\circ + 2 \cdot \angle ABC = 180^\circ$
$2 \cdot \angle ABC = 180^\circ - 40^\circ$
$2 \cdot \angle ABC = 140^\circ$
$\angle ABC = 70^\circ$

Таким образом, углы треугольника $ABC$ равны $40^\circ$, $70^\circ$ и $70^\circ$. Все углы меньше $90^\circ$, значит, треугольник является остроугольным, что соответствует условию задачи.

Ответ: $40^\circ, 70^\circ, 70^\circ$.