Номер 267, страница 80 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 3. Прямоугольные треугольники - номер 267, страница 80.

Условие.

267 Докажите, что два остроугольных треугольника равны, если сторона и высоты, проведённые из концов этой стороны, одного треугольника соответственно равны стороне и высотам, проведённым из концов этой стороны, другого треугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Доказательство:

Пусть даны два остроугольных треугольника $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. По условию задачи, сторона и высоты, проведённые из концов этой стороны, одного треугольника соответственно равны стороне и высотам, проведённым из концов этой стороны, другого треугольника.

Пусть равные стороны это $ AC $ и $ A_1C_1 $, то есть $ AC = A_1C_1 $. Пусть $ BH_b $ и $ DH_d $ — высоты, проведённые из вершин $ B $ и $ D $... Нет, это неверное прочтение. Высоты проведены из концов этой стороны, то есть из вершин $ A $ и $ C $.

Обозначим высоты, проведенные из вершин $ A $ и $ C $ в $ \triangle ABC $, как $ AH_a $ (на сторону $ BC $) и $ CH_c $ (на сторону $ AB $) соответственно. Аналогично, в $ \triangle A_1B_1C_1 $ высоты из вершин $ A_1 $ и $ C_1 $ обозначим как $ A_1H_{a1} $ (на сторону $ B_1C_1 $) и $ C_1H_{c1} $ (на сторону $ A_1B_1 $) соответственно.

По условию задачи имеем:

1. $ AC = A_1C_1 $
2. $ AH_a = A_1H_{a1} $
3. $ CH_c = C_1H_{c1} $

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ \triangle CH_cA $, образованный высотой $ CH_c $ (здесь $ \angle CH_cA = 90^\circ $). Его гипотенуза — $ AC $, а один из катетов — $ CH_c $. Аналогично рассмотрим прямоугольный треугольник $ \triangle C_1H_{c1}A_1 $ (здесь $ \angle C_1H_{c1}A_1 = 90^\circ $). Его гипотенуза — $ A_1C_1 $, катет — $ C_1H_{c1} $.

Сравним $ \triangle CH_cA $ и $ \triangle C_1H_{c1}A_1 $:

• $ AC = A_1C_1 $ (гипотенузы равны по условию).
• $ CH_c = C_1H_{c1} $ (катеты равны по условию).

Следовательно, прямоугольные треугольники $ \triangle CH_cA $ и $ \triangle C_1H_{c1}A_1 $ равны по гипотенузе и катету. Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих углов, а именно $ \angle A = \angle A_1 $.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ \triangle AH_aC $, образованный высотой $ AH_a $ (здесь $ \angle AH_aC = 90^\circ $). Его гипотенуза — $ AC $, катет — $ AH_a $. Аналогично рассмотрим прямоугольный треугольник $ \triangle A_1H_{a1}C_1 $ (здесь $ \angle A_1H_{a1}C_1 = 90^\circ $). Его гипотенуза — $ A_1C_1 $, катет — $ A_1H_{a1} $. Условие, что треугольники остроугольные, гарантирует, что основания высот лежат на сторонах треугольников, а не на их продолжениях.

Сравним $ \triangle AH_aC $ и $ \triangle A_1H_{a1}C_1 $:

• $ AC = A_1C_1 $ (гипотенузы равны по условию).
• $ AH_a = A_1H_{a1} $ (катеты равны по условию).

Следовательно, прямоугольные треугольники $ \triangle AH_aC $ и $ \triangle A_1H_{a1}C_1 $ равны по гипотенузе и катету. Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих углов: $ \angle C = \angle C_1 $.

Теперь вернемся к исходным треугольникам $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. Мы доказали, что:

• $ \angle A = \angle A_1 $
• $ AC = A_1C_1 $ (по условию)
• $ \angle C = \angle C_1 $

Таким образом, $ \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 $ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Ответ: Что и требовалось доказать.