Номер 269, страница 80 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 3. Прямоугольные треугольники - номер 269, страница 80.

Условие.

269 Докажите, что $\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$, если $\angle A=\angle A_1$, $\angle B=\angle B_1$ и $BH=B_1H_1$, где $BH$ и $B_1H_1$ — высоты $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства равенства треугольников $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $, сначала рассмотрим прямоугольные треугольники $ \triangle ABH $ и $ \triangle A_1B_1H_1 $, которые образованы высотами $ BH $ и $ B_1H_1 $.

Поскольку $ BH $ и $ B_1H_1 $ — высоты, то углы $ \angle BHA $ и $ \angle B_1H_1A_1 $ являются прямыми, т.е. $ \angle BHA = \angle B_1H_1A_1 = 90^\circ $.

Сравним прямоугольные треугольники $ \triangle ABH $ и $ \triangle A_1B_1H_1 $:

1. Катет $ BH $ равен катету $ B_1H_1 $ по условию ($ BH = B_1H_1 $).

2. Острый угол $ \angle A $ (противолежащий катету $ BH $) равен острому углу $ \angle A_1 $ (противолежащему катету $ B_1H_1 $) по условию ($ \angle A = \angle A_1 $).

Следовательно, прямоугольные треугольники $ \triangle ABH $ и $ \triangle A_1B_1H_1 $ равны по катету и противолежащему острому углу. Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон, в частности, гипотенуз: $ AB = A_1B_1 $.

Теперь рассмотрим исходные треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. Для них известно:

1. $ \angle A = \angle A_1 $ (по условию).

2. $ AB = A_1B_1 $ (доказано выше).

3. $ \angle B = \angle B_1 $ (по условию).

Таким образом, $ \triangle ABC $ равен $ \triangle A_1B_1C_1 $ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Ответ: Утверждение, что $ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $, доказано.