Номер 275, страница 85 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 275, страница 85.

Условие.

275 На основании $AB$ равнобедренного треугольника $ABC$ взята точка $M$, равноудалённая от боковых сторон. Докажите, что $CM$ — высота треугольника $ABC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Дано:

$\triangle ABC$ — равнобедренный, $AB$ — основание ($AC = BC$).
$M \in AB$.
Точка $M$ равноудалена от сторон $AC$ и $BC$.

Доказать:

$CM$ — высота $\triangle ABC$.

Доказательство:

1. По определению, расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Пусть $MK \perp AC$ и $ML \perp BC$. По условию задачи, точка $M$ равноудалена от боковых сторон, следовательно, $MK = ML$.

2. Рассмотрим угол $\angle ACB$. Геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла, есть его биссектриса. Так как точка $M$ по условию равноудалена от сторон $AC$ и $BC$, она лежит на биссектрисе угла $\angle ACB$.

3. Поскольку точки $C$ и $M$ принадлежат биссектрисе угла $\angle ACB$, то отрезок $CM$ является биссектрисой этого угла.

4. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AB$ биссектриса, проведенная из вершины ($C$) к основанию, является также медианой и высотой.

5. Так как $CM$ — биссектриса, проведенная к основанию $AB$, то $CM$ одновременно является и высотой треугольника $ABC$.

Следовательно, $CM \perp AB$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Точка $M$, равноудаленная от боковых сторон $AC$ и $BC$, лежит на биссектрисе угла $\angle ACB$. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является высотой, поэтому $CM$ — высота треугольника $ABC$.