Номер 287, страница 87 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 287, страница 87.

Условие.

287 Постройте треугольник по стороне, медиане, проведённой к одной из двух других сторон, и углу между данными стороной и медианой.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть искомый треугольник - $ABC$. Обозначим данные элементы в соответствии с условием задачи. Пусть дана сторона $AB$ длиной $c$, медиана $BM_b$, проведенная к стороне $AC$, длиной $m_b$, и угол между ними $\angle ABM_b = \gamma$.

Анализ

Предположим, что требуемый треугольник $ABC$ построен. В нем известны сторона $AB=c$, медиана $BM_b=m_b$ и угол $\angle ABM_b = \gamma$ между ними. Рассмотрим треугольник $ABM_b$. В этом треугольнике известны две стороны ($AB$ и $BM_b$) и угол между ними ($\angle ABM_b$). Следовательно, треугольник $ABM_b$ может быть построен по двум сторонам и углу между ними. Построив треугольник $ABM_b$, мы определим положение вершин $A$, $B$ и середины $M_b$ стороны $AC$. Поскольку $M_b$ — середина стороны $AC$, вершина $C$ должна лежать на прямой $AM_b$ так, что $M_b$ является серединой отрезка $AC$. Это означает, что точка $C$ симметрична точке $A$ относительно точки $M_b$, и ее можно найти, продолжив отрезок $AM_b$ за точку $M_b$ на его собственную длину. Таким образом, все три вершины $A, B, C$ могут быть определены, и треугольник построен.

Построение

1. Построить отрезок $AB$ равный данной длине $c$.
2. От луча $BA$ построить угол $\angle ABK$, равный данному углу $\gamma$.
3. На луче $BK$ отложить отрезок $BM_b$ длиной, равной данной медиане $m_b$.
4. Провести прямую через точки $A$ и $M_b$.
5. На этой прямой отложить от точки $M_b$ отрезок $M_bC$, равный отрезку $AM_b$, так, чтобы точка $M_b$ была серединой отрезка $AC$.
6. Соединить точки $B$ и $C$.

Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $AB$ имеет заданную длину $c$ (согласно шагу 1). Отрезок $BM_b$ соединяет вершину $B$ с серединой $M_b$ стороны $AC$ (согласно шагу 5), следовательно, $BM_b$ является медианой. Длина этой медианы равна $m_b$ (согласно шагу 3). Угол между стороной $AB$ и медианой $BM_b$, то есть $\angle ABM_b$, равен заданному углу $\gamma$ (согласно шагу 2). Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Ключевым шагом является построение треугольника $ABM_b$ по двум сторонам ($c$ и $m_b$) и углу между ними ($\gamma$). Такое построение возможно и дает единственный результат тогда и только тогда, когда заданные длины $c$ и $m_b$ положительны, а угол $\gamma$ удовлетворяет условию $0^\circ < \gamma < 180^\circ$. Если эти условия выполнены, то треугольник $ABM_b$ строится однозначно. После этого положение вершины $C$ также определяется однозначно. Следовательно, задача имеет единственное решение при $c>0$, $m_b>0$ и $0^\circ < \gamma < 180^\circ$. В противном случае задача решения не имеет.

Ответ: План построения описан в пункте Построение.