Номер 10, страница 88 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Вопросы к главе 4 - номер 10, страница 88.

Условие.

10 Докажите, что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся теоремой о сумме углов треугольника.

Дано:
Произвольный прямоугольный треугольник. Обозначим его углы как $ \alpha $, $ \beta $ и $ \gamma $.
Пусть $ \gamma $ — это прямой угол, следовательно, его величина составляет $ \gamma = 90^\circ $.
Углы $ \alpha $ и $ \beta $ — острые углы этого треугольника.

Доказать:
Сумма острых углов равна $ 90^\circ $, то есть $ \alpha + \beta = 90^\circ $.

Доказательство:
Согласно теореме о сумме углов треугольника, сумма всех трех внутренних углов любого треугольника равна $ 180^\circ $. Запишем это для нашего треугольника:
$ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ $
Поскольку треугольник прямоугольный, мы знаем, что один из его углов, $ \gamma $, равен $ 90^\circ $. Подставим это значение в уравнение:
$ \alpha + \beta + 90^\circ = 180^\circ $
Теперь выразим сумму острых углов $ \alpha + \beta $, вычитая $ 90^\circ $ из обеих частей уравнения:
$ \alpha + \beta = 180^\circ - 90^\circ $
Выполняя вычитание, получаем:
$ \alpha + \beta = 90^\circ $
Таким образом, мы доказали, что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника всегда равна $ 90^\circ $.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$.