Номер 13, страница 89 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Вопросы к главе 4 - номер 13, страница 89.

Условие.

13. Сформулируйте и докажите утверждение о признаке равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Формулировка утверждения

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Ответ:

Доказательство

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

Дано:

• $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ — прямоугольные ($\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$).
• $AB = A_1B_1$ (равные гипотенузы).
• $AC = A_1C_1$ (равные катеты).

Требуется доказать: $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

Приложим треугольник $\triangle A_1B_1C_1$ к треугольнику $\triangle ABC$ так, чтобы их равные катеты $A_1C_1$ и $AC$ совпали (вершина $A_1$ совмещена с $A$, вершина $C_1$ с $C$), а вершины $B$ и $B_1$ оказались по разные стороны от прямой $AC$.

Поскольку $\angle C = 90^\circ$ и $\angle C_1 = 90^\circ$, то угол $\angle BCB_1$ будет развернутым: $\angle BCB_1 = \angle BCA + \angle B_1CA = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Это означает, что точки $B$, $C$ и $B_1$ лежат на одной прямой.

Рассмотрим получившийся треугольник $\triangle ABB_1$. Так как по условию гипотенуза $AB$ равна гипотенузе $A_1B_1$, а сторона $A_1B_1$ при наложении совпала со стороной $AB_1$, то $AB = AB_1$. Следовательно, треугольник $\triangle ABB_1$ является равнобедренным с основанием $BB_1$.

По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны, то есть $\angle B = \angle B_1$.

Таким образом, в прямоугольных треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ гипотенузы равны ($AB = A_1B_1$) и прилежащие к ним острые углы равны ($\angle B = \angle B_1$). Следовательно, $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$ по признаку равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу.

Утверждение доказано.

Ответ: