Номер 302, страница 90 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 302, страница 90.

Условие.

302 Из точки $A$ к прямой $a$ проведены перпендикуляр $AH$ и наклонные $AM_1$ и $AM_2$. Докажите, что:

a) если $AM_1 = AM_2$, то $HM_1 = HM_2$;

б) если $AM_1 < AM_2$, то $HM_1 < HM_2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

По условию задачи, из точки $A$ к прямой $a$ проведены перпендикуляр $AH$ и наклонные $AM_1$ и $AM_2$. Это означает, что $AH \perp a$. Точки $H$, $M_1$, $M_2$ лежат на прямой $a$. Таким образом, образуются два прямоугольных треугольника: $\Delta AHM_1$ и $\Delta AHM_2$ (с прямым углом при вершине $H$). В этих треугольниках:

• $AH$ — общий катет (перпендикуляр к прямой $a$).
• $AM_1$ и $AM_2$ — гипотенузы (наклонные).
• $HM_1$ и $HM_2$ — вторые катеты, которые также являются проекциями наклонных $AM_1$ и $AM_2$ на прямую $a$.

а)

Дано: $AM_1 = AM_2$.
Доказать: $HM_1 = HM_2$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\Delta AHM_1$ и $\Delta AHM_2$.
1. $AH$ — общий катет.
2. $AM_1 = AM_2$ — гипотенузы равны по условию.
Следовательно, $\Delta AHM_1 = \Delta AHM_2$ по признаку равенства прямоугольных треугольников (по катету и гипотенузе).
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Таким образом, катет $HM_1$ треугольника $\Delta AHM_1$ равен соответствующему катету $HM_2$ треугольника $\Delta AHM_2$.
То есть, $HM_1 = HM_2$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что если равны наклонные, проведенные из одной точки к прямой, то равны и их проекции.

б)

Дано: $AM_1 < AM_2$.
Доказать: $HM_1 < HM_2$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\Delta AHM_1$ и $\Delta AHM_2$. По теореме Пифагора для каждого из них имеем:
$AM_1^2 = AH^2 + HM_1^2$
$AM_2^2 = AH^2 + HM_2^2$

Из этих равенств выразим квадраты катетов $HM_1$ и $HM_2$:
$HM_1^2 = AM_1^2 - AH^2$
$HM_2^2 = AM_2^2 - AH^2$

По условию дано неравенство $AM_1 < AM_2$. Поскольку длины отрезков являются положительными величинами, мы можем возвести обе части неравенства в квадрат, не меняя знака неравенства:
$AM_1^2 < AM_2^2$
Теперь вычтем из обеих частей этого неравенства величину $AH^2$:
$AM_1^2 - AH^2 < AM_2^2 - AH^2$
Заменив левую и правую части на эквивалентные им выражения, получим:
$HM_1^2 < HM_2^2$
Так как $HM_1$ и $HM_2$ — это длины, то они также являются положительными величинами. Поэтому извлечение квадратного корня из обеих частей неравенства сохранит его знак:
$HM_1 < HM_2$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что из двух наклонных, проведенных из одной точки к прямой, меньше та, у которой меньше проекция.