Номер 309, страница 90 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 309, страница 90.

Условие.

309 В треугольнике с неравными сторонами $AB$ и $AC$ проведены высота $AH$ и биссектриса $AD$. Докажите, что угол $\angle HAD$ равен полуразности углов $\angle B$ и $\angle C$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть в треугольнике $ABC$ углы при вершинах $B$ и $C$ равны $\angle B$ и $\angle C$ соответственно. По условию, стороны $AB$ и $AC$ не равны, следовательно, углы $\angle B$ и $\angle C$, лежащие против этих сторон, также не равны. Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $\angle B > \angle C$

Рассмотрим углы при вершине $A$. Высота $AH$ делит угол $\angle BAC$ на два угла: $\angle BAH$ и $\angle CAH$. Из прямоугольного треугольника $ABH$ (где $\angle AHB = 90^\circ$) находим:$\angle BAH = 90^\circ - \angle B$. Из прямоугольного треугольника $ACH$ (где $\angle AHC = 90^\circ$) находим:$\angle CAH = 90^\circ - \angle C$.

Поскольку $\angle B > \angle C$, то $90^\circ - \angle B < 90^\circ - \angle C$, следовательно, $\angle BAH < \angle CAH$. Биссектриса $AD$ делит угол $\angle BAC$ на два равных угла $\angle BAD = \angle CAD$. Так как $\angle BAH$ является меньшей из двух частей, на которые высота $AH$ делит угол $\angle A$, биссектриса $AD$ будет расположена между высотой $AH$ и стороной $AC$. Это означает, что угол $\angle BAD$ состоит из двух углов: $\angle BAH$ и $\angle HAD$.$\angle BAD = \angle BAH + \angle HAD$. Отсюда выразим искомый угол:$\angle HAD = \angle BAD - \angle BAH$.

Величина угла $\angle BAD$, как половины угла $\angle A$, равна:$\angle BAD = \frac{1}{2}\angle A = \frac{1}{2}(180^\circ - (\angle B + \angle C)) = 90^\circ - \frac{\angle B + \angle C}{2}$.

Подставим выражения для $\angle BAD$ и $\angle BAH$ в формулу для $\angle HAD$:$\angle HAD = \left(90^\circ - \frac{\angle B + \angle C}{2}\right) - (90^\circ - \angle B)$$\angle HAD = 90^\circ - \frac{\angle B}{2} - \frac{\angle C}{2} - 90^\circ + \angle B$$\angle HAD = \frac{\angle B}{2} - \frac{\angle C}{2} = \frac{\angle B - \angle C}{2}$.

Случай 2: $\angle C > \angle B$

Аналогично первому случаю, $\angle BAH = 90^\circ - \angle B$ и $\angle CAH = 90^\circ - \angle C$. Поскольку $\angle C > \angle B$, то $90^\circ - \angle C < 90^\circ - \angle B$, следовательно, $\angle CAH < \angle BAH$. Теперь $\angle CAH$ является меньшей из двух частей, на которые высота $AH$ делит угол $\angle A$. Значит, биссектриса $AD$ будет расположена между высотой $AH$ и стороной $AB$. Это означает, что угол $\angle CAD$ состоит из двух углов: $\angle CAH$ и $\angle HAD$.$\angle CAD = \angle CAH + \angle HAD$. Отсюда выразим искомый угол:$\angle HAD = \angle CAD - \angle CAH$.

Величина угла $\angle CAD$, как половины угла $\angle A$, равна:$\angle CAD = \frac{1}{2}\angle A = \frac{1}{2}(180^\circ - (\angle B + \angle C)) = 90^\circ - \frac{\angle B + \angle C}{2}$.

Подставим выражения для $\angle CAD$ и $\angle CAH$ в формулу для $\angle HAD$:$\angle HAD = \left(90^\circ - \frac{\angle B + \angle C}{2}\right) - (90^\circ - \angle C)$$\angle HAD = 90^\circ - \frac{\angle B}{2} - \frac{\angle C}{2} - 90^\circ + \angle C$$\angle HAD = \frac{\angle C}{2} - \frac{\angle B}{2} = \frac{\angle C - \angle B}{2}$.

В обоих случаях угол $HAD$ равен половине положительной разности углов $B$ и $C$. Объединив результаты, можно записать общую формулу:$\angle HAD = \frac{|\angle B - \angle C|}{2}$. Это и есть полуразность углов $B$ и $C$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Угол $HAD$ равен $\frac{|\angle B - \angle C|}{2}$.