Номер 312, страница 90 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 312, страница 90.

Условие.

312 Отрезок соединяет вершину треугольника с точкой, лежащей на противоположной стороне. Докажите, что этот отрезок меньше большей из двух других сторон.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан треугольник $ABC$. Отрезок $AD$ соединяет вершину $A$ с точкой $D$, лежащей на противоположной стороне $BC$. Докажем, что отрезок $AD$ меньше большей из двух других сторон, $AB$ и $AC$.

Без ограничения общности, предположим, что сторона $AC$ не короче стороны $AB$, то есть $AC \ge AB$. В этом случае нам нужно доказать, что $AD < AC$.

Углы $\angle ADB$ и $\angle ADC$ являются смежными, так как точка $D$ лежит на прямой $BC$. Следовательно, их сумма равна $180^\circ$: $\angle ADB + \angle ADC = 180^\circ$.

Из этого равенства следует, что хотя бы один из этих углов должен быть не меньше $90^\circ$ (если бы оба угла были острыми, то есть меньше $90^\circ$, их сумма была бы меньше $180^\circ$). Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $\angle ADC \ge 90^\circ$.
Рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Поскольку угол $\angle ADC$ является прямым или тупым, он является наибольшим углом в треугольнике $\triangle ADC$. Следовательно, противолежащая ему сторона $AC$ является наибольшей стороной в этом треугольнике. Таким образом, $AC > AD$.

Случай 2: $\angle ADB \ge 90^\circ$.
Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. Аналогично, угол $\angle ADB$ является прямым или тупым, а значит — наибольшим углом в треугольнике $\triangle ABD$. Следовательно, противолежащая ему сторона $AB$ является наибольшей стороной в этом треугольнике. Таким образом, $AB > AD$.
По нашему первоначальному предположению, $AC \ge AB$. Из этих двух неравенств следует: $AC \ge AB > AD$, что означает $AC > AD$.

В обоих случаях мы получили, что $AD < AC$. Так как $AC$ — это большая (или равная другой) из двух сторон $AB$ и $AC$, мы доказали, что отрезок $AD$ меньше большей из двух сторон.

Ответ: Утверждение доказано.