Номер 318, страница 91 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 318, страница 91.

Условие.

318 Дан равносторонний треугольник $ABC$ и точка $B_1$ на стороне $AC$. На сторонах $BC$ и $AB$ постройте точки $A_1$ и $C_1$ так, чтобы треугольник $A_1B_1C_1$ был равносторонним.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Для построения искомых точек $A_1$ и $C_1$ необходимо сначала определить их свойства. Проведем анализ задачи, докажем, что найденные свойства обеспечивают требуемый результат, а затем опишем алгоритм построения.

Анализ и доказательство

Пусть искомый треугольник $A_1B_1C_1$ построен и является равносторонним. Рассмотрим три треугольника, образовавшихся в углах исходного треугольника $ABC$: $\triangle AC_1B_1$, $\triangle BA_1C_1$ и $\triangle CB_1A_1$.

Выдвинем гипотезу, что для искомых точек выполняются следующие равенства: $CA_1 = AB_1$ и $AC_1 = CB_1$. Докажем, что если построить точки $A_1$ и $C_1$, удовлетворяющие этим условиям, то треугольник $A_1B_1C_1$ будет равносторонним.

Пусть сторона равностороннего треугольника $ABC$ равна $a$. Точка $B_1$ делит сторону $AC$ на два отрезка. Обозначим их длины: $AB_1 = x$ и $CB_1 = y$. Таким образом, $x + y = a$.

Согласно нашей гипотезе, построим точки $A_1$ и $C_1$ так, чтобы:

• Точка $A_1$ лежит на стороне $BC$ и $CA_1 = AB_1 = x$.
• Точка $C_1$ лежит на стороне $AB$ и $AC_1 = CB_1 = y$.

Теперь найдем длины остальных отрезков на сторонах треугольника $ABC$:

• $BA_1 = BC - CA_1 = a - x = y$.
• $BC_1 = AB - AC_1 = a - y = x$.

Рассмотрим три "угловых" треугольника:

1. $\triangle AC_1B_1$: имеет стороны $AB_1 = x$, $AC_1 = y$ и угол между ними $\angle A = 60^\circ$.
2. $\triangle CB_1A_1$: имеет стороны $CA_1 = x$, $CB_1 = y$ и угол между ними $\angle C = 60^\circ$.
3. $\triangle BA_1C_1$: имеет стороны $BC_1 = x$, $BA_1 = y$ и угол между ними $\angle B = 60^\circ$.

Все три треугольника ($\triangle AC_1B_1$, $\triangle CB_1A_1$ и $\triangle BA_1C_1$) равны между собой по двум сторонам и углу между ними (признак СУС). У каждого из них есть стороны длиной $x$ и $y$, и угол между ними равен $60^\circ$.

Из равенства этих треугольников следует равенство их третьих сторон:

$B_1C_1 = A_1B_1 = C_1A_1$.

Это означает, что треугольник $A_1B_1C_1$ является равносторонним. Таким образом, гипотеза верна, и мы можем использовать эти свойства для построения.

Построение

Алгоритм построения точек $A_1$ и $C_1$ с помощью циркуля и линейки, основанный на доказанных выше свойствах.

1. Построение точки $A_1$:

а. С помощью циркуля измерьте длину отрезка $AB_1$. Для этого установите иглу циркуля в точку $A$, а грифель — в точку $B_1$.
б. Не меняя раствора циркуля, установите его иглу в точку $C$.
в. Проведите дугу так, чтобы она пересекла сторону $BC$. Точка пересечения является искомой точкой $A_1$. По построению $CA_1 = AB_1$.

2. Построение точки $C_1$:

а. С помощью циркуля измерьте длину отрезка $CB_1$. Для этого установите иглу циркуля в точку $C$, а грифель — в точку $B_1$.
б. Не меняя раствора циркуля, установите его иглу в точку $A$.
в. Проведите дугу так, чтобы она пересекла сторону $AB$. Точка пересечения является искомой точкой $C_1$. По построению $AC_1 = CB_1$.

В результате этих действий будут построены точки $A_1$ и $C_1$, которые вместе с данной точкой $B_1$ образуют равносторонний треугольник $A_1B_1C_1$.

Ответ: Точка $A_1$ строится на стороне $BC$ таким образом, чтобы отрезок $CA_1$ был равен отрезку $AB_1$. Точка $C_1$ строится на стороне $AB$ таким образом, чтобы отрезок $AC_1$ был равен отрезку $CB_1$. Эти построения выполняются с помощью циркуля, перенося длины соответствующих отрезков.