Номер 315, страница 90 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 315, страница 90.

Условие.

315 С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный:

а) $30^\circ$;

б) $60^\circ$;

в) $15^\circ$;

г) $120^\circ$;

д) $150^\circ$;

е) $135^\circ$;

ж) $165^\circ$;

з) $75^\circ$;

и) $105^\circ$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для всех построений используются два основных метода: построение равностороннего треугольника, который дает угол в $60°$, и построение биссектрисы угла, которая делит угол пополам. Также используется построение прямого угла ($90°$) и сложение/вычитание углов.

а) 30°
1. Сначала построим угол в $60°$. Для этого проведем луч с началом в точке $O$. Из точки $O$ проведем окружность произвольного радиуса $R$, которая пересечет луч в точке $A$.
2. Не меняя раствора циркуля, установим его ножку в точку $A$ и проведем дугу так, чтобы она пересекла первую окружность в точке $B$.
3. Соединим точку $O$ с точкой $B$. Угол $\angle AOB$ равен $60°$, так как треугольник $\triangle AOB$ — равносторонний.
4. Теперь построим биссектрису угла $\angle AOB$. Из точек $A$ и $B$ проведем две дуги одинакового радиуса внутри угла до их пересечения в точке $C$.
5. Проведем луч $OC$. Этот луч делит угол $\angle AOB$ пополам.
Таким образом, угол $\angle AOC$ равен $30°$.
Ответ: Угол $30°$ строится как половина угла $60°$ ($30° = 60° / 2$), для чего сначала строится равносторонний треугольник (угол $60°$), а затем его биссектриса.

б) 60°
1. Проведем луч с началом в точке $O$ и отметим на нем точку $A$.
2. С помощью циркуля построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OA$.
3. Не меняя раствора циркуля, построим окружность с центром в точке $A$, которая пересечет первую окружность в точке $B$.
4. Проведем луч $OB$. Угол $\angle AOB$ является искомым, так как треугольник $\triangle AOB$ — равносторонний (все стороны равны радиусу $OA$).
Ответ: Угол $60°$ строится как угол равностороннего треугольника.

в) 15°
1. Сначала строим угол в $30°$ так, как описано в пункте а).
2. Затем строим биссектрису полученного угла в $30°$.
В результате угол делится пополам, и мы получаем угол в $15°$.
Ответ: Угол $15°$ строится как половина угла $30°$ ($15° = 30° / 2 = (60° / 2) / 2$).

г) 120°
1. Строим угол $\angle AOB = 60°$ по алгоритму из пункта б).
2. На луче $OB$, не меняя раствора циркуля, из точки $B$ проводим дугу, пересекающую окружность (с центром в $O$) в точке $C$.
3. Соединяем $O$ и $C$. Угол $\angle BOC$ также равен $60°$.
4. Угол $\angle AOC$ является суммой двух углов по $60°$ и равен $120°$.
Альтернативный способ: построить угол $60°$, а затем построить смежный с ним угол. $180° - 60° = 120°$.
Ответ: Угол $120°$ строится как сумма двух углов по $60°$ ($120° = 60° + 60°$).

д) 150°
1. Проведем прямую и отметим на ней точку $O$. Это развернутый угол в $180°$.
2. В одной из полуплоскостей отложим от луча угол в $30°$ (как в пункте а)).
3. Угол, смежный с построенным углом в $30°$, будет равен $180° - 30° = 150°$.
Ответ: Угол $150°$ строится как угол, смежный с углом $30°$ ($150° = 180° - 30°$).

е) 135°
1. Строим прямой угол ($90°$). Для этого на прямой строим перпендикуляр в некоторой точке $O$.
2. Строим биссектрису прямого угла. Получаем угол в $45°$.
3. Угол, смежный с углом $45°$, будет равен $180° - 45° = 135°$.
Другой способ: сложить прямой угол и угол $45°$ ($90° + 45° = 135°$).
Ответ: Угол $135°$ строится как сумма прямого угла и угла $45°$ ($135° = 90° + 45°$).

ж) 165°
1. Строим угол в $15°$ (как в пункте в)).
2. Строим угол, смежный с построенным углом в $15°$. Его величина будет равна $180° - 15° = 165°$.
Ответ: Угол $165°$ строится как угол, смежный с углом $15°$ ($165° = 180° - 15°$).

з) 75°
1. Строим угол в $60°$.
2. Строим угол в $15°$ (как в пункте в)).
3. Пристраиваем (строим) угол в $15°$ к одной из сторон угла в $60°$ так, чтобы их области не пересекались.
4. Суммарный угол будет равен $60° + 15° = 75°$.
Другой способ: из прямого угла вычесть $15°$ ($90° - 15° = 75°$).
Ответ: Угол $75°$ строится как сумма углов $60°$ и $15°$ ($75° = 60° + 15°$).

и) 105°
1. Строим прямой угол ($90°$).
2. Строим угол в $15°$ (как в пункте в)).
3. Пристраиваем угол в $15°$ к одной из сторон прямого угла.
4. Суммарный угол будет равен $90° + 15° = 105°$.
Другой способ: сложить угол $60°$ и угол $45°$ ($60° + 45° = 105°$).
Ответ: Угол $105°$ строится как сумма углов $90°$ и $15°$ ($105° = 90° + 15°$).