Номер 356, страница 96 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 356, страница 96.

Условие.

356 □ Постройте прямоугольный треугольник $ABC$, если даны острый угол $B$ и биссектриса $BD$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Поскольку по условию треугольник $ABC$ является прямоугольным, а угол $B$ — острым, то прямой угол в треугольнике может быть либо при вершине $A$, либо при вершине $C$. Это приводит к двум возможным решениям задачи.

Случай 1: Прямой угол при вершине C ($\angle C = 90^\circ$)

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. В нем $\angle C = 90^\circ$, дан острый угол $B$ и его биссектриса $BD$. Рассмотрим треугольник $BCD$. Он является прямоугольным ($\angle BCD = 90^\circ$). В этом треугольнике нам известны гипотенуза $BD$ и острый угол $\angle CBD$, который равен половине угла $B$ ($\angle CBD = \frac{1}{2}\angle B$). Прямоугольный треугольник можно построить по гипотенузе и острому углу. После построения треугольника $BCD$ можно найти вершину $A$. Она лежит на пересечении прямой $CD$ и луча $BA$, который образует с лучом $BC$ угол, равный данному углу $B$.

Построение

1. Построим угол, равный половине данного угла $B$. Для этого разделим данный угол $B$ пополам с помощью циркуля и линейки.

2. Проведем произвольную прямую и отложим на ней отрезок $BD$, равный длине данной биссектрисы.

3. Построим прямоугольный треугольник $BCD$ по гипотенузе $BD$ и острому углу $\angle CBD = \frac{1}{2}\angle B$. Для этого:

а) Построим окружность с диаметром $BD$. Ее центр — середина отрезка $BD$.

б) От луча $DB$ отложим угол, равный $\frac{1}{2}\angle B$. Построим луч $BP$.

в) Точка пересечения луча $BP$ и окружности будет вершиной $C$.

4. Проведем прямую через точки $D$ и $C$.

5. От луча $CB$ отложим угол, равный данному углу $B$, так, чтобы луч $BD$ находился внутри этого угла. Полученный луч будет содержать сторону $BA$.

6. Точка пересечения прямой $CD$ и луча $BA$ является вершиной $A$.

7. Треугольник $ABC$ построен.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой, так как он является вписанным углом, опирающимся на диаметр $BD$ построенной окружности. Угол $ABC$ равен данному углу $B$ по построению. Отрезок $BD$ имеет заданную длину и является биссектрисой угла $B$, поскольку $\angle CBD = \frac{1}{2}\angle B$ по построению, а $\angle ABD = \angle ABC - \angle CBD = \angle B - \frac{1}{2}\angle B = \frac{1}{2}\angle B$. Следовательно, $\triangle ABC$ — искомый.

Ответ: Построенный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ является решением задачи.

Случай 2: Прямой угол при вершине A ($\angle A = 90^\circ$)

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. В нем $\angle A = 90^\circ$, дан острый угол $B$ и его биссектриса $BD$. Рассмотрим треугольник $ABD$. Он является прямоугольным ($\angle BAD = 90^\circ$). В этом треугольнике нам известны гипотенуза $BD$ и острый угол $\angle ABD$, который равен половине угла $B$ ($\angle ABD = \frac{1}{2}\angle B$). Этот треугольник также можно построить по гипотенузе и острому углу. После его построения, найдем вершину $C$. Она лежит на пересечении прямой $AD$ и луча $BC$, который образует с лучом $BD$ угол $\angle DBC = \frac{1}{2}\angle B$.

Построение

1. Построим угол, равный половине данного угла $B$.

2. Проведем отрезок $BD$, равный длине данной биссектрисы.

3. Построим прямоугольный треугольник $ABD$ по гипотенузе $BD$ и острому углу $\angle ABD = \frac{1}{2}\angle B$. Для этого:

а) Построим окружность с диаметром $BD$.

б) От луча $BD$ отложим угол, равный $\frac{1}{2}\angle B$. Построим луч $BP$.

в) Точка пересечения луча $BP$ и окружности будет вершиной $A$.

4. Проведем прямую через точки $A$ и $D$.

5. От луча $BD$ отложим угол, равный $\frac{1}{2}\angle B$, в полуплоскость, не содержащую точку $A$. Полученный луч будет содержать сторону $BC$.

6. Точка пересечения прямой $AD$ и луча $BC$ является вершиной $C$.

7. Треугольник $ABC$ построен.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ угол $A$ прямой, так как он является вписанным углом, опирающимся на диаметр $BD$. Отрезок $BD$ имеет заданную длину по построению. Угол $ABC$ равен сумме углов $\angle ABD$ и $\angle DBC$. По построению, $\angle ABD = \frac{1}{2}\angle B$ и $\angle DBC = \frac{1}{2}\angle B$. Таким образом, $\angle ABC = \frac{1}{2}\angle B + \frac{1}{2}\angle B = \angle B$. Так как $\angle ABD = \angle DBC$, $BD$ является биссектрисой угла $B$. Следовательно, $\triangle ABC$ — искомый.

Ответ: Построенный треугольник $ABC$ с прямым углом $A$ является решением задачи.