Номер 217, страница 67 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 3. Параллельные прямые. Параграф 2. Аксиома параллельных прямых - номер 217, страница 67.

Условие.

217 Прямые $a$ и $b$ параллельны прямой $c$. Докажите, что любая прямая, пересекающая прямую $a$, пересекает также и прямую $b$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства данного утверждения будем исходить из аксиом и теорем планиметрии (геометрии на плоскости).

По условию задачи, прямая $a$ параллельна прямой $c$ (обозначается как $a \parallel c$), и прямая $b$ также параллельна прямой $c$ ($b \parallel c$). Согласно свойству транзитивности параллельных прямых, которое является следствием основной аксиомы параллельности в евклидовой геометрии, две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой. Таким образом, из $a \parallel c$ и $b \parallel c$ следует, что $a \parallel b$.

Теперь рассмотрим произвольную прямую $d$, которая пересекает прямую $a$. Пусть точка их пересечения — $M$. Нам требуется доказать, что прямая $d$ пересекает и прямую $b$.

Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что прямая $d$ не пересекает прямую $b$. Поскольку мы работаем на плоскости, две прямые, которые не пересекаются, являются параллельными. Следовательно, наше предположение означает, что $d \parallel b$.

Таким образом, мы получили, что через точку $M$ (которая принадлежит прямой $a$, а значит, не принадлежит прямой $b$, так как $a \parallel b$) проходят две различные прямые — $a$ и $d$ — и обе они параллельны прямой $b$.

Это утверждение вступает в противоречие с аксиомой параллельных прямых (известной также как пятый постулат Евклида), которая гласит, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Поскольку наше предположение привело к противоречию, оно является ложным. Это означает, что прямая $d$ обязана пересекать прямую $b$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. На основании свойства транзитивности параллельных прямых ($a \parallel c$ и $b \parallel c \Rightarrow a \parallel b$) и аксиомы о параллельных прямых, любая прямая, пересекающая прямую $a$, будет также пересекать и прямую $b$.