Номер 214, страница 67 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 3. Параллельные прямые. Параграф 2. Аксиома параллельных прямых - номер 214, страница 67.

Условие.

214 □ Прямая, проходящая через середину биссектрисы $AD$ треугольника $ABC$ и перпендикулярная к $AD$, пересекает сторону $AC$ в точке $M$. Докажите, что $MD \parallel AB$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть $K$ — середина биссектрисы $AD$ треугольника $\triangle ABC$. По условию задачи, прямая, проходящая через точку $K$ и перпендикулярная к $AD$, пересекает сторону $AC$ в точке $M$. Обозначим эту прямую $m$.

Поскольку прямая $m$ проходит через середину $K$ отрезка $AD$ и перпендикулярна ему, она является серединным перпендикуляром к отрезку $AD$.

По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка. Так как точка $M$ лежит на серединном перпендикуляре $m$, то расстояния от неё до точек $A$ и $D$ равны, то есть $AM = MD$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AMD$. Так как его стороны $AM$ и $MD$ равны, то он является равнобедренным с основанием $AD$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle MAD = \angle MDA$.

Из условия известно, что $AD$ — биссектриса угла $\angle BAC$. По определению биссектрисы, $\angle BAD = \angle CAD$. Точка $M$ лежит на стороне $AC$, поэтому угол $\angle CAD$ совпадает с углом $\angle MAD$. Таким образом, $\angle BAD = \angle MAD$.

Теперь мы имеем два равенства: $\angle MAD = \angle MDA$ и $\angle BAD = \angle MAD$. Из них следует, что $\angle BAD = \angle MDA$.

Рассмотрим прямые $AB$ и $MD$ и секущую $AD$. Углы $\angle BAD$ и $\angle MDA$ являются накрест лежащими углами, образованными при пересечении этих прямых секущей. Поскольку эти накрест лежащие углы равны, то по признаку параллельности прямых $AB$ и $MD$ параллельны, то есть $MD \parallel AB$.

Ответ: Что и требовалось доказать.