Номер 15, страница 67 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 3. Параллельные прямые. Вопросы к главе 3 - номер 15, страница 67.

Условие.

15 Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых секущей:

a) соответственные углы равны;

б) сумма односторонних углов равна $180^{\circ}$.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Для доказательства данных утверждений воспользуемся аксиомой параллельных прямых и ее следствиями. Основное свойство, которое мы будем использовать: если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Пусть прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$), и они пересечены секущей $c$.

а) соответственные углы равны;

Докажем, что любая пара соответственных углов равна. Возьмем для примера одну пару таких углов, обозначив их $\angle 1$ и $\angle 2$. Пусть угол $\angle 3$ является вертикальным углу $\angle 1$.

1. Углы $\angle 1$ и $\angle 3$ являются вертикальными. По свойству вертикальных углов, они равны: $\angle 1 = \angle 3$.
2. Углы $\angle 3$ и $\angle 2$ являются накрест лежащими углами при параллельных прямых $a$ и $b$ и секущей $c$. По свойству параллельных прямых, накрест лежащие углы равны: $\angle 3 = \angle 2$.
3. Так как $\angle 1 = \angle 3$ и $\angle 3 = \angle 2$, то по свойству транзитивности равенства следует, что $\angle 1 = \angle 2$.

Таким образом, мы доказали, что соответственные углы равны. Доказательство для других пар соответственных углов абсолютно аналогично.

Ответ: Утверждение доказано. При пересечении двух параллельных прямых секущей соответственные углы равны.

б) сумма односторонних углов равна 180°;

Докажем, что сумма любой пары односторонних углов равна $180^\circ$. Возьмем для примера одну пару таких углов, обозначив их $\angle 4$ и $\angle 5$. Пусть угол $\angle 6$ является смежным с углом $\angle 4$.

1. Углы $\angle 4$ и $\angle 6$ являются смежными. По определению смежных углов, они лежат на одной прямой и их сумма составляет $180^\circ$: $\angle 4 + \angle 6 = 180^\circ$.
2. Углы $\angle 6$ и $\angle 5$ являются соответственными углами при параллельных прямых $a$ и $b$ и секущей $c$. Как было доказано в пункте а), соответственные углы равны: $\angle 6 = \angle 5$.
3. Теперь в равенстве из пункта 1 ($\angle 4 + \angle 6 = 180^\circ$) мы можем заменить угол $\angle 6$ на равный ему угол $\angle 5$. В результате получим: $\angle 4 + \angle 5 = 180^\circ$.

Таким образом, мы доказали, что сумма односторонних углов равна $180^\circ$.

Ответ: Утверждение доказано. При пересечении двух параллельных прямых секущей сумма односторонних углов равна $180^\circ$.