Номер 13, страница 67 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 3. Параллельные прямые. Вопросы к главе 3 - номер 13, страница 67.

Условие.

13 Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Дано:
Прямая $a$ параллельна прямой $b$ ($a \parallel b$).
Прямая $c$ является секущей для прямых $a$ и $b$.
$\angle 1$ и $\angle 2$ — пара накрест лежащих углов, образованных при пересечении этих прямых.

Доказать:
$\angle 1 = \angle 2$.

Доказательство:
Рассмотрим угол $\angle 3$, который является вертикальным для угла $\angle 1$. По свойству вертикальных углов, они равны, следовательно, $\angle 1 = \angle 3$.

Теперь рассмотрим углы $\angle 3$ и $\angle 2$. Эти углы являются соответственными углами, образованными при пересечении параллельных прямых $a$ и $b$ секущей $c$.

Согласно свойству параллельных прямых (которое следует из аксиомы параллельности), если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны. Таким образом, $\angle 3 = \angle 2$.

Мы получили два равенства: $\angle 1 = \angle 3$ и $\angle 3 = \angle 2$. Из этих равенств по свойству транзитивности (если первая величина равна второй, а вторая равна третьей, то первая равна третьей) следует, что $\angle 1 = \angle 2$.
Доказательство для второй пары накрест лежащих углов проводится аналогично.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение о том, что при пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны, доказано.