Номер 12, страница 67 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 3. Параллельные прямые. Вопросы к главе 3 - номер 12, страница 67.

Условие.

12 Какая теорема называется обратной данной теореме? Приведите примеры теорем, обратных данным.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Какая теорема называется обратной данной теореме?

Любую теорему можно представить в виде условного утверждения: «Если А, то В», где А — это условие (посылка) теоремы, а В — это ее заключение (следствие).

Теоремой, обратной данной теореме «Если А, то В», называется теорема, в которой условие и заключение исходной теоремы поменялись местами. Формулировка обратной теоремы выглядит так: «Если В, то А». Таким образом, заключение прямой теоремы становится условием обратной, а условие прямой теоремы — заключением обратной.

Важно понимать, что если прямая теорема верна, то обратная ей теорема не обязательно будет верной. Для установления истинности обратной теоремы требуется отдельное доказательство.

В терминах математической логики, если прямая теорема записывается как импликация $A \Rightarrow B$ (из А следует В), то обратная ей теорема будет иметь вид $B \Rightarrow A$ (из В следует А).

Ответ: Теоремой, обратной данной теореме «Если А, то В», называется теорема «Если В, то А», в которой условие и заключение исходной теоремы поменялись местами.

Приведите примеры теорем, обратных данным.

Пример 1. Теорема Пифагора

Прямая теорема (теорема Пифагора): Если треугольник является прямоугольным, то квадрат длины его гипотенузы равен сумме квадратов длин его катетов.
(Формально: если в $\triangle ABC$ угол $\angle C = 90^\circ$, то $c^2 = a^2 + b^2$).

Обратная теорема: Если в треугольнике квадрат длины одной стороны равен сумме квадратов длин двух других сторон, то этот треугольник является прямоугольным.
(Формально: если для сторон $\triangle ABC$ выполняется равенство $c^2 = a^2 + b^2$, то $\angle C = 90^\circ$).
В данном случае и прямая, и обратная теоремы являются верными.

Пример 2. Теорема о вертикальных углах

Прямая теорема: Если два угла являются вертикальными, то они равны.

Обратная теорема: Если два угла равны, то они являются вертикальными.
В данном случае обратная теорема неверна. Например, углы при основании равнобедренного треугольника равны, но они не являются вертикальными.

Пример 3. Свойства и признаки параллельных прямых

Прямая теорема (свойство параллельных прямых): Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой (секущей), то накрест лежащие углы равны.

Обратная теорема (признак параллельности прямых): Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.
В этом примере и прямая, и обратная теоремы верны. В школьном курсе геометрии их часто изучают как пару: «свойство» и «признак».

Ответ: Примеры пар взаимно обратных теорем: 1) Теорема Пифагора и теорема, обратная теореме Пифагора (обе верны). 2) Теорема о равенстве вертикальных углов (верна) и обратное ей утверждение «если углы равны, то они вертикальные» (неверно). 3) Свойство накрест лежащих углов при параллельных прямых и признак параллельности прямых по равенству накрест лежащих углов (обе верны).