Номер 5, страница 66 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 3. Параллельные прямые. Вопросы к главе 3 - номер 5, страница 66.

Условие.

5 Докажите, что если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна $180^\circ$, то прямые параллельны.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Это утверждение является одним из признаков параллельности прямых. Докажем его.

Пусть две прямые a и b пересечены секущей c. Обозначим пару внутренних односторонних углов как $∠1$ и $∠2$. Угол, смежный с углом $∠1$, обозначим как $∠3$.

Дано:
Прямые a, b и секущая c.
$∠1$ и $∠2$ — внутренние односторонние углы.
$∠1 + ∠2 = 180°$.

Доказать:
$a \parallel b$.

Доказательство:

Углы $∠1$ и $∠3$ являются смежными, так как они вместе образуют развернутый угол. По свойству смежных углов, их сумма всегда равна $180°$. Следовательно:
$∠1 + ∠3 = 180°$

По условию задачи нам известно, что сумма внутренних односторонних углов $∠1$ и $∠2$ также равна $180°$:
$∠1 + ∠2 = 180°$

Так как правые части обоих равенств равны (оба равны $180°$), мы можем приравнять их левые части:
$∠1 + ∠3 = ∠1 + ∠2$

Вычтем из обеих частей равенства величину угла $∠1$:
$∠3 = ∠2$

Углы $∠2$ и $∠3$ являются внутренними накрест лежащими углами при пересечении прямых a и b секущей c.

Согласно признаку параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.

Поскольку мы доказали, что $∠2 = ∠3$, мы можем сделать вывод, что прямые a и b параллельны ($a \parallel b$).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.