Номер 3, страница 66 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 3. Параллельные прямые. Вопросы к главе 3 - номер 3, страница 66.

Условие.

3 Докажите, что если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим две прямые a и b, которые пересекаются третьей прямой, называемой секущей c. При этом образуются восемь углов. Накрест лежащие углы — это пара углов, которые находятся по разные стороны от секущей c и между прямыми a и b. Обозначим одну такую пару углов как $∠1$ и $∠2$.

Дано:
Прямые a и b.
Секущая c.
$∠1$ и $∠2$ — накрест лежащие углы.
$∠1 = ∠2$.

Доказать:
$a \parallel b$.

Доказательство:

Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что прямые a и b не параллельны. Если две прямые на плоскости не параллельны, они должны пересекаться в некоторой точке. Назовем эту точку M.

Пусть секущая c пересекает прямую a в точке A и прямую b в точке B. В таком случае, точки A, B и M образуют треугольник $ΔABM$.

Рассмотрим углы этого треугольника. Угол $∠2$ является внутренним углом треугольника при вершине B (то есть, $∠ABM = ∠2$). Угол $∠1$ и внутренний угол треугольника при вершине A (угол $∠MAB$) являются смежными углами. Сумма смежных углов равна $180^\circ$, следовательно, величина внутреннего угла треугольника при вершине A равна $180^\circ - ∠1$.

Согласно теореме о сумме углов треугольника, сумма всех внутренних углов треугольника равна $180^\circ$. Для $ΔABM$ имеем:

$∠MAB + ∠ABM + ∠AMB = 180^\circ$

Подставим известные нам выражения для углов:

$(180^\circ - ∠1) + ∠2 + ∠AMB = 180^\circ$

Из условия задачи нам известно, что $∠1 = ∠2$. Заменим в уравнении $∠2$ на равный ему $∠1$:

$(180^\circ - ∠1) + ∠1 + ∠AMB = 180^\circ$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$180^\circ - ∠1 + ∠1 + ∠AMB = 180^\circ$

$180^\circ + ∠AMB = 180^\circ$

Отсюда следует, что:

$∠AMB = 180^\circ - 180^\circ = 0^\circ$

Мы пришли к выводу, что угол $∠AMB$ в треугольнике $ΔABM$ равен $0^\circ$. Это невозможно, так как любой угол в треугольнике является положительной величиной. Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным.

Следовательно, прямые a и b не могут пересекаться, а значит, они параллельны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.