Номер 209, страница 66 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 3. Параллельные прямые. Параграф 2. Аксиома параллельных прямых - номер 209, страница 66.

Условие.

209 На рисунке 120 $a \parallel b$, $c \parallel d$, $\angle 4 = 45^\circ$. Найдите углы 1, 2 и 3.

Рис. 120

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Поскольку по условию задачи прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$), а также прямые $c$ и $d$ параллельны ($c \parallel d$), то четырехугольник, образованный при их пересечении, является параллелограммом.

Найти угол 3

Углы $\angle 3$ и $\angle 4$ являются смежными, так как они вместе образуют развернутый угол на прямой $a$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

Следовательно, $\angle 3 + \angle 4 = 180^\circ$.

Подставим известное значение $\angle 4 = 45^\circ$:

$\angle 3 + 45^\circ = 180^\circ$

$\angle 3 = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$

Ответ: $\angle 3 = 135^\circ$.

Найти угол 1

Рассмотрим внутренний угол параллелограмма при пересечении прямых $a$ и $d$. Этот угол является вертикальным по отношению к углу $\angle 4$. Обозначим его $\angle 5$.

Вертикальные углы равны, поэтому $\angle 5 = \angle 4 = 45^\circ$.

Угол $\angle 1$ является внутренним углом параллелограмма при пересечении прямых $b$ и $c$. Углы $\angle 1$ и $\angle 5$ являются противолежащими углами параллелограмма.

Противолежащие углы параллелограмма равны, следовательно:

$\angle 1 = \angle 5 = 45^\circ$

Ответ: $\angle 1 = 45^\circ$.

Найти угол 2

Угол $\angle 2$ является внутренним углом параллелограмма при пересечении прямых $b$ и $d$. Углы $\angle 2$ и $\angle 5$ (внутренний угол при пересечении $a$ и $d$) являются соседними (прилежащими к одной стороне) углами параллелограмма.

Сумма соседних углов параллелограмма равна $180^\circ$.

$\angle 2 + \angle 5 = 180^\circ$

Мы уже нашли, что $\angle 5 = 45^\circ$. Подставим это значение:

$\angle 2 + 45^\circ = 180^\circ$

$\angle 2 = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$

Проверка другим способом: Рассмотрим параллельные прямые $a$ и $b$ и секущую $d$. Угол $\angle 3$ и угол $\angle 2$ являются внутренними накрест лежащими углами. Следовательно, они должны быть равны. Так как $\angle 3 = 135^\circ$, то и $\angle 2 = 135^\circ$. Результаты совпадают.

Ответ: $\angle 2 = 135^\circ$.