Номер 52, страница 21 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 1. Начальные геометрические сведения. Параграф 5. Измерение углов - номер 52, страница 21.

Условие.

52 На рисунке 39 луч OV является биссектрисой угла ZOY, а луч OU — биссектрисой угла XOY. Найдите угол XOZ, если $\angle UOV = 80^\circ$.

Рис. 39

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

По определению биссектрисы, луч, выходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называется биссектрисой угла.

Из условия задачи известно, что луч $OV$ является биссектрисой угла $ZOY$. Следовательно, он делит этот угол пополам:

$\angle ZOV = \angle VOY$

Таким образом, весь угол $ZOY$ равен удвоенному углу $VOY$:

$\angle ZOY = 2 \cdot \angle VOY$

Также из условия известно, что луч $OU$ является биссектрисой угла $XOY$. Следовательно, он также делит этот угол пополам:

$\angle XOU = \angle UOY$

Таким образом, весь угол $XOY$ равен удвоенному углу $UOY$:

$\angle XOY = 2 \cdot \angle UOY$

Угол $XOZ$, который нам нужно найти, состоит из двух смежных углов $XOY$ и $ZOY$. Его величину можно найти как их сумму:

$\angle XOZ = \angle XOY + \angle ZOY$

Подставим в это равенство выражения для углов $XOY$ и $ZOY$, которые мы получили ранее:

$\angle XOZ = (2 \cdot \angle UOY) + (2 \cdot \angle VOY)$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$\angle XOZ = 2 \cdot (\angle UOY + \angle VOY)$

Сумма углов $\angle UOY + \angle VOY$ образует угол $UOV$. Из рисунка и условия задачи мы знаем, что $\angle UOV = 80^\circ$.

Следовательно, мы можем подставить известное значение в нашу формулу:

$\angle XOZ = 2 \cdot \angle UOV = 2 \cdot 80^\circ = 160^\circ$

Ответ: $160^\circ$.