Номер 46, страница 21 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 1. Начальные геометрические сведения. Параграф 5. Измерение углов - номер 46, страница 21.

Условие.

46 На рисунке 37 изображены лучи с общим началом $O$.

а) Найдите градусные меры углов $AOX, BOX, AOB, COB, DOX$;

б) назовите углы, равные $20^\circ$;

в) назовите равные углы;

г) назовите все углы со стороной $OA$ и найдите их градусные меры.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

а) Для нахождения градусных мер углов воспользуемся шкалой транспортира. Примем, что луч $OX$ соответствует отметке $0^{\circ}$ на внешней шкале.
- Угол $AOX$: луч $OA$ указывает на отметку $40^{\circ}$. Следовательно, $\angle AOX = 40^{\circ}$.
- Угол $BOX$: луч $OB$ указывает на отметку $60^{\circ}$. Следовательно, $\angle BOX = 60^{\circ}$.
- Угол $AOB$: его градусная мера равна разности показаний для лучей $OB$ и $OA$. $\angle AOB = \angle BOX - \angle AOX = 60^{\circ} - 40^{\circ} = 20^{\circ}$.
- Угол $COB$: его градусная мера равна разности показаний для лучей $OC$ (указывает на $90^{\circ}$) и $OB$. $\angle COB = \angle COX - \angle BOX = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.
- Угол $DOX$: луч $OD$ указывает на отметку $130^{\circ}$. Следовательно, $\angle DOX = 130^{\circ}$.
Ответ: $\angle AOX = 40^{\circ}$, $\angle BOX = 60^{\circ}$, $\angle AOB = 20^{\circ}$, $\angle COB = 30^{\circ}$, $\angle DOX = 130^{\circ}$.

б) Чтобы найти углы, равные $20^{\circ}$, нужно найти пары лучей, разность показаний которых на транспортире равна $20$.
- $\angle AOB = 60^{\circ} - 40^{\circ} = 20^{\circ}$.
Проверим другие комбинации:
- $\angle BOC = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.
- $\angle COD = 130^{\circ} - 90^{\circ} = 40^{\circ}$.
Единственный угол, равный $20^{\circ}$, - это $\angle AOB$.
Ответ: $\angle AOB$.

в) Найдем градусные меры всех основных углов, образованных соседними лучами, и сравним их, а также другие комбинации.
- $\angle AOX = 40^{\circ}$.
- $\angle AOB = 20^{\circ}$.
- $\angle BOC = 30^{\circ}$.
- $\angle COD = 130^{\circ} - 90^{\circ} = 40^{\circ}$.
- $\angle DOZ = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$.
Из этих углов равны $\angle AOX$ и $\angle COD$.
Теперь рассмотрим составные углы:
- $\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = 20^{\circ} + 30^{\circ} = 50^{\circ}$. Этот угол равен углу $\angle DOZ$.
- $\angle AOD = \angle AOX + \angle XOD$ (неверно) $\angle AOD = \angle DOX - \angle AOX = 130^{\circ} - 40^{\circ} = 90^{\circ}$. Этот угол равен углу $\angle COX$ ($90^{\circ}$) и углу $\angle COZ$ ($180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$).
Ответ: $\angle AOX = \angle COD = 40^{\circ}$; $\angle AOC = \angle DOZ = 50^{\circ}$; $\angle AOD = \angle COX = \angle COZ = 90^{\circ}$.

г) Углы со стороной $OA$ - это углы, одним из лучей которых является $OA$, а другим - любой другой луч с началом в точке $O$ ($OX, OB, OC, OD, OZ$).
- Угол $AOX$: $\angle AOX = 40^{\circ}$.
- Угол $AOB$: $\angle AOB = \angle BOX - \angle AOX = 60^{\circ} - 40^{\circ} = 20^{\circ}$.
- Угол $AOC$: $\angle AOC = \angle COX - \angle AOX = 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ}$.
- Угол $AOD$: $\angle AOD = \angle DOX - \angle AOX = 130^{\circ} - 40^{\circ} = 90^{\circ}$.
- Угол $AOZ$: $\angle AOZ = \angle ZOX - \angle AOX = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ}$.
Ответ: $\angle AOX = 40^{\circ}$, $\angle AOB = 20^{\circ}$, $\angle AOC = 50^{\circ}$, $\angle AOD = 90^{\circ}$, $\angle AOZ = 140^{\circ}$.