Номер 44, страница 21 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 1. Начальные геометрические сведения. Параграф 5. Измерение углов - номер 44, страница 21.

Условие.

44. Начертите угол $AOB$ и с помощью транспортира проведите луч $OC$ так, чтобы луч $OA$ являлся биссектрисой угла $BOC$.

Всегда ли это выполнимо?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для выполнения этого задания, сначала нужно начертить произвольный угол $AOB$. Затем, с помощью транспортира, измерим его градусную меру, которую обозначим как $\alpha$.

По условию, луч $OA$ должен быть биссектрисой угла $BOC$. Это означает, что луч $OA$ должен делить угол $BOC$ на два равных угла, то есть $\angle BOA = \angle AOC$. Так как мы уже измерили $\angle BOA = \alpha$, то нам необходимо построить угол $AOC$ так, чтобы его величина также была равна $\alpha$.

Чтобы луч $OA$ оказался внутри угла $BOC$, луч $OC$ нужно провести с другой стороны от луча $OA$, нежели луч $OB$. Для этого, используя транспортир, откладываем от луча $OA$ угол $\alpha$ в полуплоскость, не содержащую луч $OB$, и проводим луч $OC$.

В результате мы получаем искомую конструкцию: $\angle AOB = \angle AOC = \alpha$, и луч $OA$ является биссектрисой угла $BOC$. Величина угла $BOC$ при этом будет равна $2\alpha$.

Всегда ли это выполнимо?

Нет, это выполнимо не всегда. Возможность построения зависит от величины исходного угла $AOB$. Проблема возникает, когда угол $AOB$ является развернутым или больше развернутого.

• Если $\angle AOB < 180^\circ$ (меньше развернутого), то $2\alpha$ будет меньше $360^\circ$. В этом случае луч $OA$ всегда будет находиться внутри угла $BOC$, и построение корректно.
• Если $\angle AOB = 180^\circ$ (развернутый угол), то лучи $OA$ и $OB$ лежат на одной прямой. Наше построение требует отложить от $OA$ угол в $180^\circ$, то есть провести луч $OC$ в направлении, противоположном $OA$. Но это направление уже занято лучом $OB$. Таким образом, лучи $OB$ и $OC$ совпадут, а угол $BOC$ будет равен $0^\circ$. Угол в $0^\circ$ не имеет внутренней области, поэтому луч $OA$ (который лежит на той же прямой, но направлен в другую сторону) не может быть его биссектрисой. Следовательно, в этом случае построение невозможно.
• Если $\angle AOB > 180^\circ$ (рефлексный угол), например $\angle AOB = 200^\circ$, то угол $BOC$ будет равен $2 \times 200^\circ = 400^\circ$. На плоскости это соответствует углу $400^\circ - 360^\circ = 40^\circ$. Однако луч $OA$ не будет лежать внутри этого нового, 40-градусного угла $BOC$. Он окажется снаружи. Значит, $OA$ не может быть биссектрисой угла $BOC$. Построение также невозможно.

Следовательно, выполнить данное задание можно только при условии, что исходный угол $AOB$ меньше $180^\circ$.

Ответ: Нет, не всегда. Задание можно выполнить только в том случае, если угол $AOB$ меньше развернутого (т.е. $\angle AOB < 180^\circ$).