Номер 927, страница 228 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 1. Координаты вектора - номер 927, страница 228.

Условие.

927 Докажите, что если два вектора коллинеарны, то координаты одного вектора пропорциональны координатам другого. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Докажите, что если два вектора коллинеарны, то координаты одного вектора пропорциональны координатам другого

Пусть даны два коллинеарных вектора $\vec{a}\{x_1; y_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2\}$. Доказательство проведем для двумерного случая, для трех и более измерений оно аналогично.

По определению, два вектора называются коллинеарными, если один из них можно выразить через другой путем умножения на некоторое действительное число (скаляр). Это означает, что существует такое число $k$, что $\vec{b} = k \cdot \vec{a}$, или такое число $m$, что $\vec{a} = m \cdot \vec{b}$.

Рассмотрим первый случай: существует число $k$ такое, что $\vec{b} = k \cdot \vec{a}$.

1. Если $\vec{a}$ — нулевой вектор, то есть $\vec{a}\{0; 0\}$, то из равенства следует, что $\vec{b} = k \cdot \vec{0} = \vec{0}\{0; 0\}$. Координаты обоих векторов равны нулю и, следовательно, пропорциональны (например, $0 = k \cdot 0$ для любого $k$).

2. Если $\vec{a}$ — ненулевой вектор ($\vec{a} \neq \vec{0}$), то векторное равенство $\vec{b} = k \cdot \vec{a}$ в координатной форме записывается как:
$\{x_2; y_2\} = k \cdot \{x_1; y_1\}$
что равносильно системе уравнений для координат:
$x_2 = kx_1$
$y_2 = ky_1$

Эти равенства по определению означают, что координаты вектора $\vec{b}$ пропорциональны соответствующим координатам вектора $\vec{a}$ с коэффициентом пропорциональности $k$.

Второй случай, когда существует число $m$ такое, что $\vec{a} = m \cdot \vec{b}$, рассматривается аналогично и приводит к выводу, что координаты вектора $\vec{a}$ пропорциональны координатам вектора $\vec{b}$.

Таким образом, утверждение полностью доказано.

Ответ: Утверждение доказано.

Сформулируйте и докажите обратное утверждение

Формулировка обратного утверждения: Если соответствующие координаты двух векторов пропорциональны, то эти векторы коллинеарны.

Доказательство:

Пусть даны два вектора $\vec{a}\{x_1; y_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2\}$, и их координаты пропорциональны. Это означает, что существует такое действительное число $k$, что выполняются равенства:

$x_2 = kx_1$
$y_2 = ky_1$

Рассмотрим два случая:

1. Вектор $\vec{a}$ — нулевой, то есть $\vec{a}\{0; 0\}$. В этом случае $x_1 = 0$ и $y_1 = 0$. Из равенств пропорциональности следует, что $x_2 = k \cdot 0 = 0$ и $y_2 = k \cdot 0 = 0$. Значит, вектор $\vec{b}$ также является нулевым: $\vec{b}\{0; 0\}$. Нулевой вектор по определению коллинеарен любому вектору, в том числе и самому себе. Следовательно, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

2. Вектор $\vec{a}$ — ненулевой ($\vec{a} \neq \vec{0}$). Систему равенств для координат можно записать в векторной форме:

$\{x_2; y_2\} = \{kx_1; ky_1\}$

Вынося общий скалярный множитель $k$ за скобки в правой части, получаем:

$\{x_2; y_2\} = k \cdot \{x_1; y_1\}$

Это равенство в векторной форме выглядит как $\vec{b} = k \cdot \vec{a}$.

По определению, если один вектор можно представить как произведение другого вектора на число, то эти векторы коллинеарны. (Если $k=0$, то $\vec{b}=\vec{0}$, и он коллинеарен любому вектору $\vec{a}$).

Следовательно, в обоих случаях векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

Ответ: Обратное утверждение: "Если соответствующие координаты двух векторов пропорциональны, то эти векторы коллинеарны", — сформулировано и доказано.