Номер 928, страница 228 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 1. Координаты вектора - номер 928, страница 228.

Условие.

928 □ Даны векторы $\vec{a}\{3; 7\}$, $\vec{b}\{-2; 1\}$, $\vec{c}\{6; 14\}$, $\vec{d}\{2; -1\}$, $\vec{e}\{2; 4\}$.

Укажите среди этих векторов попарно коллинеарные векторы.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Два ненулевых вектора $\vec{u}\{x_1; y_1\}$ и $\vec{v}\{x_2; y_2\}$ называются коллинеарными, если их соответствующие координаты пропорциональны. Это означает, что существует такое число $k \neq 0$, что выполняется равенство $\vec{v} = k \cdot \vec{u}$, то есть $x_2 = kx_1$ и $y_2 = ky_1$. Условие пропорциональности координат можно также записать в виде равенства отношений: $\frac{x_2}{x_1} = \frac{y_2}{y_1}$ (при условии, что $x_1 \neq 0$ и $y_1 \neq 0$).

Даны векторы: $\vec{a}\{3; 7\}$, $\vec{b}\{-2; 1\}$, $\vec{c}\{6; 14\}$, $\vec{d}\{2; -1\}$, $\vec{e}\{2; 4\}$.

Проверим попарно все векторы на коллинеарность, вычисляя отношения их соответствующих координат.

1. Сравним векторы $\vec{a}\{3; 7\}$ и $\vec{c}\{6; 14\}$:
Отношение первых координат: $\frac{6}{3} = 2$.
Отношение вторых координат: $\frac{14}{7} = 2$.
Так как отношения координат равны, векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ коллинеарны ($\vec{c} = 2\vec{a}$).

2. Сравним векторы $\vec{b}\{-2; 1\}$ и $\vec{d}\{2; -1\}$:
Отношение первых координат: $\frac{2}{-2} = -1$.
Отношение вторых координат: $\frac{-1}{1} = -1$.
Так как отношения координат равны, векторы $\vec{b}$ и $\vec{d}$ коллинеарны ($\vec{d} = -\vec{b}$).

3. Проверим остальные пары:
Для $\vec{a}\{3; 7\}$ и $\vec{b}\{-2; 1\}$: $\frac{-2}{3} \neq \frac{1}{7}$. Не коллинеарны.
Для $\vec{a}\{3; 7\}$ и $\vec{d}\{2; -1\}$: $\frac{2}{3} \neq \frac{-1}{7}$. Не коллинеарны.
Для $\vec{a}\{3; 7\}$ и $\vec{e}\{2; 4\}$: $\frac{2}{3} \neq \frac{4}{7}$. Не коллинеарны.
Для $\vec{b}\{-2; 1\}$ и $\vec{c}\{6; 14\}$: $\frac{6}{-2} = -3$, а $\frac{14}{1} = 14$. Не коллинеарны.
Для $\vec{b}\{-2; 1\}$ и $\vec{e}\{2; 4\}$: $\frac{2}{-2} = -1$, а $\frac{4}{1} = 4$. Не коллинеарны.
Для $\vec{c}\{6; 14\}$ и $\vec{e}\{2; 4\}$: $\frac{6}{2} = 3$, а $\frac{14}{4} = 3.5$. Не коллинеарны.

Таким образом, среди данных векторов есть две пары коллинеарных векторов.

Ответ: коллинеарными являются пары векторов $\vec{a}$ и $\vec{c}$, а также $\vec{b}$ и $\vec{d}$.