Номер 931, страница 232 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 2. Простейшие задачи в координатах - номер 931, страница 232.

Условие.

931 Начертите квадрат $MNPQ$ так, чтобы вершина $P$ имела координаты $(-3; 3)$, а диагонали квадрата пересекались в начале координат. Найдите координаты точек $M, N$ и $Q$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть $O(0; 0)$ - точка пересечения диагоналей квадрата MNPQ. По свойству квадрата, его диагонали в точке пересечения делятся пополам, они равны по длине и взаимно перпендикулярны.

В квадрате, названном MNPQ, вершины перечисляются в порядке обхода. Это означает, что M и P являются противоположными вершинами (образуют диагональ MP), а N и Q также являются противоположными (образуют диагональ NQ).

1. Нахождение координат вершины M

Точка O(0; 0) является серединой диагонали MP. Нам известны координаты точки $P(-3; 3)$ и точки $O(0; 0)$. Найдем координаты точки $M(x_M; y_M)$, используя формулу для координат середины отрезка:
$x_O = \frac{x_M + x_P}{2} \implies 0 = \frac{x_M + (-3)}{2} \implies x_M - 3 = 0 \implies x_M = 3$
$y_O = \frac{y_M + y_P}{2} \implies 0 = \frac{y_M + 3}{2} \implies y_M + 3 = 0 \implies y_M = -3$
Следовательно, координаты вершины M: $(3; -3)$.

2. Нахождение координат вершин N и Q

Диагональ NQ перпендикулярна диагонали MP и также делится точкой O(0; 0) пополам. Кроме того, полудиагонали квадрата равны: $ON = OQ = OP$.
Вектор $\vec{OP}$ имеет координаты, совпадающие с координатами точки P: $(-3; 3)$. Векторы $\vec{ON}$ и $\vec{OQ}$, соответствующие другим полудиагоналям, можно найти, повернув вектор $\vec{OP}$ на 90° в обе стороны (по и против часовой стрелки) вокруг начала координат.
При повороте вектора $(x; y)$ на 90° по часовой стрелке его новые координаты становятся $(y; -x)$. Применив это к вектору $\vec{OP}(-3; 3)$, получаем вектор с координатами $(3; -(-3)) = (3; 3)$.
При повороте вектора $(x; y)$ на 90° против часовой стрелки его новые координаты становятся $(-y; x)$. Применив это к вектору $\vec{OP}(-3; 3)$, получаем вектор с координатами $(-3; -3)$.
Таким образом, координаты вершин N и Q — это $(3; 3)$ и $(-3; -3)$.

3. Определение соответствия координат вершинам

Чтобы квадрат назывался MNPQ, вершины должны идти в указанном порядке. Проверим полученные координаты: $M(3; -3)$, $N(3; 3)$, $P(-3; 3)$, $Q(-3; -3)$.
Сторона MN (от M к N) является вертикальным отрезком.
Сторона NP (от N к P) является горизонтальным отрезком.
Они перпендикулярны, и их длины равны 6. Следовательно, порядок вершин определен верно.

Ответ: Координаты искомых точек: $M(3; -3)$, $N(3; 3)$, $Q(-3; -3)$.