Номер 41, страница 9 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

41. На рисунке 17 $\angle PMF = 32^\circ$, $\angle TMQ = 87^\circ$ Найдите угол KMR.

Рис. 17

41. На рисунке 17 $\angle PMF = 32^\circ$, $\angle TMQ = 87^\circ$ Найдите угол $KMR$.

Для решения задачи воспользуемся свойствами вертикальных и смежных углов, которые образуются при пересечении прямых.

1. Углы $ \angle RMP $ и $ \angle TMQ $ являются вертикальными, так как они образованы пересечением прямых $PQ$ и $RT$. Вертикальные углы равны, следовательно:
$ \angle RMP = \angle TMQ = 87^\circ $

2. Угол $ \angle RMF $ состоит из двух прилежащих углов $ \angle RMP $ и $ \angle PMF $. Его величину можно найти, сложив величины этих углов:
$ \angle RMF = \angle RMP + \angle PMF = 87^\circ + 32^\circ = 119^\circ $

3. Углы $ \angle KMR $ и $ \angle RMF $ являются смежными, так как они вместе образуют развернутый угол $ \angle KMF $ (прямая $KF$). Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Таким образом:
$ \angle KMR + \angle RMF = 180^\circ $
$ \angle KMR = 180^\circ - \angle RMF = 180^\circ - 119^\circ = 61^\circ $

Можно также прийти к ответу другим путем. Углы $ \angle KMR $ и $ \angle FMT $ являются вертикальными (образованы пересечением прямых $KF$ и $RT$), поэтому они равны. Найдем $ \angle FMT $. Углы $ \angle RMF $ и $ \angle FMT $ — смежные (образуют прямую $RT$), их сумма равна $180^\circ$. Мы уже нашли, что $ \angle RMF = 119^\circ $. Тогда:
$ \angle FMT = 180^\circ - \angle RMF = 180^\circ - 119^\circ = 61^\circ $
Следовательно, $ \angle KMR = \angle FMT = 61^\circ $.

Ответ: $61^\circ$