Номер 46, страница 10 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

46. Угол между биссектрисой угла $\angle ABC$ и лучом, дополнительным к стороне $BA$, равен $124^\circ$. Найдите угол $\angle ABC$.

46. Угол между биссектрисой угла $\angle ABC$ и лучом, дополнительным к стороне $BA$, равен $124^\circ$. Найдите угол $\angle ABC$.

Пусть $BD$ — биссектриса угла $\angle ABC$, а $BK$ — луч, дополнительный к стороне $BA$.

По определению биссектрисы, она делит угол $\angle ABC$ на два равных угла, то есть $\angle ABD = \angle DBC$. Следовательно, $\angle ABC = 2 \times \angle ABD$.

Поскольку луч $BK$ является дополнительным к лучу $BA$, то лучи $BA$ и $BK$ лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны. Углы $\angle KBD$ и $\angle ABD$ являются смежными, так как у них общая сторона $BD$, а стороны $BK$ и $BA$ являются дополнительными лучами. Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Таким образом, мы можем записать равенство: $\angle KBD + \angle ABD = 180^\circ$.

Из условия задачи известно, что угол между биссектрисой $BD$ и дополнительным лучом $BK$ равен $124^\circ$, то есть $\angle KBD = 124^\circ$.

Подставим известное значение в равенство для смежных углов: $124^\circ + \angle ABD = 180^\circ$.

Отсюда найдем величину угла $\angle ABD$: $\angle ABD = 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ$.

Теперь, зная величину половины угла $\angle ABC$ (то есть $\angle ABD$), мы можем найти искомый угол $\angle ABC$: $\angle ABC = 2 \times \angle ABD = 2 \times 56^\circ = 112^\circ$.

Ответ: $112^\circ$.