Номер 45, страница 10 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

45. На рисунке 20 $ \angle ADC = \angle CEF $ Докажите, что $ \angle CDE = \angle CED $.

Рис. 20

45. На рисунке 20 $ \angle ADC = \angle CEF $. Докажите, что $ \angle CDE = \angle CED $.

Рис. 20

Для доказательства равенства углов $∠CDE$ и $∠CED$ воспользуемся свойством смежных углов.

1. Углы $∠ADC$ и $∠CDE$ являются смежными, так как они имеют общую сторону DC, а стороны DA и DE лежат на одной прямой AF. Сумма смежных углов равна $180°$. Следовательно, мы можем записать:

$∠ADC + ∠CDE = 180°$

Выразим из этого равенства угол $∠CDE$:

$∠CDE = 180° - ∠ADC$

2. Аналогично, углы $∠CEF$ и $∠CED$ также являются смежными. У них общая сторона CE, а стороны EF и ED лежат на той же прямой AF. Поэтому их сумма также равна $180°$:

$∠CEF + ∠CED = 180°$

Выразим из этого равенства угол $∠CED$:

$∠CED = 180° - ∠CEF$

3. По условию задачи нам дано, что $∠ADC = ∠CEF$.

4. Теперь сравним выражения для углов $∠CDE$ и $∠CED$. Поскольку $∠ADC = ∠CEF$, то и разности $180° - ∠ADC$ и $180° - ∠CEF$ также равны. Следовательно:

$∠CDE = ∠CED$

Это доказывает, что углы при основании DE треугольника CDE равны, а значит, треугольник CDE является равнобедренным.

Ответ: Утверждение доказано. Углы $∠CDE$ и $∠CED$ являются смежными к равным по условию углам $∠ADC$ и $∠CEF$. Углы, смежные с равными углами, равны между собой. Из $∠CDE = 180° - ∠ADC$ и $∠CED = 180° - ∠CEF$, а также из условия $∠ADC = ∠CEF$, следует, что $∠CDE = ∠CED$.