Номер 42, страница 9 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

42. На рисунке 18 $\angle EAC + \angle CAD + \angle FAD = 290^\circ$. Найдите углы $\angle EAF$ и $\angle FAD$.

42. На рисунке 18 $\angle EAC + \angle CAD + \angle FAD = 290^\circ$. Найдите углы EAF и FAD.

Рис. 18

На рисунке изображены две пересекающиеся в точке A прямые, которые образуют четыре угла: $ \angle EAC $, $ \angle CAD $, $ \angle FAD $ и $ \angle EAF $. Сумма всех углов вокруг точки A составляет полный угол, то есть $ 360^\circ $.

Запишем это в виде уравнения: $ \angle EAC + \angle CAD + \angle FAD + \angle EAF = 360^\circ $.

По условию задачи известно, что сумма трех из этих углов равна $ 290^\circ $: $ \angle EAC + \angle CAD + \angle FAD = 290^\circ $.

Подставив данное значение в первое уравнение, мы можем найти величину четвертого угла, $ \angle EAF $:

$ ( \angle EAC + \angle CAD + \angle FAD ) + \angle EAF = 360^\circ $

$ 290^\circ + \angle EAF = 360^\circ $

$ \angle EAF = 360^\circ - 290^\circ $

$ \angle EAF = 70^\circ $.

Теперь найдем угол $ \angle FAD $. Углы, образованные при пересечении двух прямых, обладают определенными свойствами. В частности, существуют смежные и вертикальные углы.

Углы $ \angle EAC $ и $ \angle EAF $ являются смежными, так как они имеют общую сторону AE, а две другие их стороны (AC и AF) являются дополнительными лучами, образующими прямую. Сумма смежных углов равна $ 180^\circ $.

Следовательно, $ \angle EAC + \angle EAF = 180^\circ $.

Подставим найденное значение $ \angle EAF = 70^\circ $ в это уравнение:

$ \angle EAC + 70^\circ = 180^\circ $

$ \angle EAC = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ $.

Углы $ \angle FAD $ и $ \angle EAC $ являются вертикальными. Вертикальные углы равны.

Следовательно, $ \angle FAD = \angle EAC $.

Так как $ \angle EAC = 110^\circ $, то и $ \angle FAD = 110^\circ $.

Ответ: $ \angle EAF = 70^\circ $, $ \angle FAD = 110^\circ $.