Номер 43, страница 9 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

43. Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, в 7 раз больше суммы смежных с ним углов. Найдите этот угол.

43. Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, в 7 раз больше суммы смежных с ним углов. Найдите этот угол.

При пересечении двух прямых образуются четыре угла. Пусть искомый угол равен $ \alpha $. Углы, смежные с ним, являются вертикальными, а значит, равны между собой. Обозначим каждый из смежных с $ \alpha $ углов как $ \beta $.

Сумма смежных углов составляет $ 180^\circ $. Следовательно, мы можем записать соотношение:

$ \alpha + \beta = 180^\circ $

Из этого уравнения можно выразить $ \beta $:

$ \beta = 180^\circ - \alpha $

По условию задачи, угол $ \alpha $ в 7 раз больше суммы смежных с ним углов. Смежных с углом $ \alpha $ два, и их сумма равна $ \beta + \beta = 2\beta $. Таким образом, мы можем составить уравнение:

$ \alpha = 7 \times (\beta + \beta) $

$ \alpha = 7 \times 2\beta $

$ \alpha = 14\beta $

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$ \begin{cases} \alpha + \beta = 180^\circ \\ \alpha = 14\beta \end{cases} $

Подставим второе уравнение в первое:

$ 14\beta + \beta = 180^\circ $

$ 15\beta = 180^\circ $

$ \beta = \frac{180^\circ}{15} $

$ \beta = 12^\circ $

Теперь, зная величину угла $ \beta $, найдем искомый угол $ \alpha $:

$ \alpha = 14\beta = 14 \times 12^\circ = 168^\circ $

Проверим полученный результат. Сумма смежных углов равна $ 12^\circ + 12^\circ = 24^\circ $. Умножим эту сумму на 7: $ 24^\circ \times 7 = 168^\circ $. Это значение равно найденному углу $ \alpha $, что соответствует условию задачи.

Ответ: $ 168^\circ $