Номер 51, страница 11 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

51. На рисунке 23 $\angle KMD = \angle EMF, \angle DME = \angle FMP.$ Докажите, что $DM \perp MF.$

Рис. 23

51. На рисунке 23 $\angle KMD = \angle EMF, \angle DME = \angle FMP.$ Докажите, что $DM \perp MF.$

Рис. 23

Поскольку точки K, M и P лежат на одной прямой, угол $ \angle KMP $ является развёрнутым, и его величина равна $ 180^\circ $.

Угол $ \angle KMP $ состоит из суммы четырех углов:
$ \angle KMP = \angle KMD + \angle DME + \angle EMF + \angle FMP $

Следовательно,
$ \angle KMD + \angle DME + \angle EMF + \angle FMP = 180^\circ $

По условию задачи даны следующие равенства:
$ \angle KMD = \angle EMF $
$ \angle DME = \angle FMP $

Заменим в сумме углов $ \angle KMD $ на равный ему угол $ \angle EMF $ и $ \angle FMP $ на равный ему угол $ \angle DME $. Получим:
$ \angle EMF + \angle DME + \angle EMF + \angle DME = 180^\circ $

Сгруппируем подобные члены:
$ 2 \cdot \angle DME + 2 \cdot \angle EMF = 180^\circ $

Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$ 2 \cdot (\angle DME + \angle EMF) = 180^\circ $

Разделим обе части уравнения на 2:
$ \angle DME + \angle EMF = \frac{180^\circ}{2} $
$ \angle DME + \angle EMF = 90^\circ $

Из рисунка видно, что угол $ \angle DMF $ является суммой углов $ \angle DME $ и $ \angle EMF $:
$ \angle DMF = \angle DME + \angle EMF $

Следовательно, $ \angle DMF = 90^\circ $.

По определению, если угол между лучами равен $ 90^\circ $, то эти лучи перпендикулярны. Значит, $ DM \perp MF $, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $ DM \perp MF $.